Beweis zur Darstellung der Quadratwurzel

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lagrange92 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zur Darstellung der Quadratwurzel
Meine Frage:
Der Satz lautet: ist genau dann ein Bruch (also element der rationalen zahlen), wenn c eine Quadratzahl ist.
Der Bewis ist in zwei Teile unterteilt von denen der erste einfach über Primfaktor-zerlegung zeigt, dass wenn mit c eine Quadratzahl ist. Wenn hier a und b in Primfaktoren zerlegt werden, dann gibt es in diesem Fall () für jedes ein , dem es gleich ist, also und somit ist c quadratzahl. Ist c Qaudratzahl, weil es im Produkt ein entsprechendes gibt, dass auch c teilt?
Der zweite Teil ist kürzer, hier beginnt man mit der Annahme, dass ein endlicher Dezimalbruch sei und somit auch das Quadrat gerade ein endlicher Dezimalbruch. Dies wiederum sei nur möglich, wenn der ursprüngliche Dezimalbruch eine ganze Zahl war. Hier hake ich etwas, weil auch bei ganzen Zahlen muss die Wurzel nicht unbedingt ein endlicher Dezimalbruch sein oder? Mein Verständnis der Aussage des zweiten Teiles hakt etwas, wenn man das mal kurz erklären könnte wäre nett.


Meine Ideen:
Meine Ideen habe ich zuvor im Text angeführt.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zur Darstellung der Quadratwurzel
Zitat:
Original von lagrange92
Ist c Qaudratzahl, weil es im Produkt ein entsprechendes gibt, dass auch c teilt?

Du hast vergessen, auch die Primfaktorzerlegung von c noch ins Spiel zu bringen... Und wichtig: Du kannst o.B.d.A. für alle drei Zahlen a,b,c die gleichen(!) Primfaktoren annehmen, wenn du auch den Exponenten 0 zulässt..

Zitat:
Original von lagrange92
Der zweite Teil ist kürzer, hier beginnt man mit der Annahme, dass ein endlicher Dezimalbruch sei und somit auch das Quadrat gerade ein endlicher Dezimalbruch. Dies wiederum sei nur möglich, wenn der ursprüngliche Dezimalbruch eine ganze Zahl war.

Auch hier braucht man nur ein bißchen "mathematischen Hausverstand": Durch Quadrieren einer endlichen Dezimalzahl verdoppelt sich prinzipiell die Anzahl der Nachkommastellen... Ich hoffe, du ziehst daraus selbst den richtigen Schluss...
lagrange92 Auf diesen Beitrag antworten »

Sicherlich folgt bei einem Produkt, dessen Faktoren endlich viele Nachkommastellen haben, dass das Produkt nur endlich viele hat. Mich hat vielmehr verwirrt warum im Beweis von einer ganzen Zahl gesprochen wird , denn Zahlen mit Nachkommastellen sind nicht zwingend . Vielmehr gilt hier doch auch die Umkehrung für eine nicht abbrechende Dezimaldarstellung.
Wie soll hier genau der Exponent 0 mit eingebaut werden?
Wenn du o.B.d.A für alle die gleichen Primfaktoren wählst, bliebe das Quadrat von c gerade über, was die Aussage wäre, ok. Aber es bleibt, wie du die 0 einbauen willst?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lagrange92
Wie soll hier genau der Exponent 0 mit eingebaut werden?


Nimm z.B. die Zahlen a=84, b= 110... a hat die Primfaktoren 2,3,7 und b die Primfaktoren 2,5,11, für beide zusammen betrachten wir dann die Primzahlmenge P={2,3,5,7,11} und können mit ihrer Hilfe dann schreiben



Genau das Gleiche könntest du mit den drei Zahlen a, b und c in deinem Beweis auch machen, und dir wirst dir die Augen reiben, um wieviel einfacher dadurch gleich alles wird... Ja, das sind halt so die kleinen Tricks mit denen die Profis arbeiten und die dem Einsteiger anfangs so unglaublich schwer fallen... Big Laugh
lagrange92 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie genau soll hieraus jetzt aber folgen, dass c Primzahl ist, denn im Grunde sind erstmal die Zerlegungen von a und b relevant, die einander Teilen. Doch verstehe ich nicht ganz wieso hieraus folgt .
Der zweite Teil des Beweises ist doch so gesehen als Teil des ersten zu verstehen, und bezieht auf eine endliche Dezimalbruchdarstellung, durch die c im ersten Teil charkterisiert wurde, oder? Könnte es sein , dass dann statt von einer ganzen Zahl von einer Qaudratzahl gesprochen werden müsste?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Du drehst dich da im Kreis... Mathematik ist mehr ein "Tun", als ein darüber "Meditieren", was du hier machst... unglücklich

Warum folgst du nicht einfach meinem Vorschlag, dass du vorweg die Menge der Primzahlen betrachtest, welche wenigstens eine der drei Zahlen a, b oder c teilen, worauf du dann einfach schreiben kannst



Indem du dies in b²c=a² einsetzt, erhältst du dann



Ich hoffe, damit "klingelt's" nun auch endlich bei dir, warum c eine Quadratzahl sein muss... Augenzwinkern
 
 
lagrange92 Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist, wenn von der Gestalt mit , dann wäre doch gerade der Exponent von der obigen Gestalt, es sei denn du nimmst an , weil du brauchst doch gerade Exponenten für das Qaudrat. Oder stehe ich da auf dem Schlauch?
lagrange92 Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte man das so formulieren:

Weiter gilt:

Nun gilt aber weiter für , sodass .
Insbesondere ist c also quadratisch.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich sieht das alles sehr verworren aus... unglücklich

Tatsache ist, dass aus



wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung sofort



folgt... Damit ist also dann insbesondere



und daher



tatsächlich eine ganzzahlige Quadratzahl...

Ob du das gemeint hast oder nicht, musst du jetzt selbst beurteilen, ich werde jedenfalls nicht schlau aus deinen Ausführungen, ganz ausschließen möchte ich es aber auch nicht...
lagrange92 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, mit meinem wollte ich in etwa auf dasselbe hinaus.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lagrange92
Danke, mit meinem wollte ich in etwa auf dasselbe hinaus.

"In etwa" ist gut...Aber lassen wir es gut sein, vielleicht weißt du ja nun, wie so ein Beweis aussehen muss... Augenzwinkern Wink
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