Exponetialgleichung |
| 23.07.2004, 21:08 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Exponetialgleichung Ich habe wieder mal ein Problem. Ich habe folgende Exponetialgleichung, die ich lösen will: 2*3^x + 4*3^-x = 6 In dem Heft, das ich gerade durcharbeite, wird darin ein Lösungsverfahren mithilfe der Substitution angewnedet. Ersetzen von 3^x durch u (>0): ist es hier notwendig u zu defnieren mit "(>0)" ? Man weiß das doch schon, dass 3^x > 0 ist dadurch, dass a >0 ist. 2*3^x + 4*3^-x = 6 2u + 4/u = 6 / -6 / *u 2u² - 6u + 4 = 0 1.Lösung: u1 = 1 ; 2.Lösung: u2 = 2 Rückgängig machen der Substitution: 3^x1 = 1; x1 = 0 (zur Anmerkung: x1 soll nicht x-1 o.ä. bedeuten, sondern die erste Lösung für x) 3^x2 = 2; x2*lg (3) = lg (2); x2 = lg (2) / lg (3) L = {0; lg (2)/lg (3)} 1. Woher genau weiß ich überhaupt, wann die Substitution notwendig bzw hilfreich ist. 2.) Gibt es Aufgaben, in denen man Substitution anwenden und einen anderen Lösungsweg gehen könnte ? Der Weg, den ich gegangen bin um die Exponentialgleichung zu lösen ist folgender: 2*3^x + 4*3^-x = 6 lg (2) + x*lg (3) + lg (4) - x*lg (3) = lg (6) x*lg (3) - x* lg (3) = lg (6) - lg (2) - lg (4) x = [lg (6) - lg (2) - lg (4) ] / [lg (3) - lg (3)] nicht lösbar, da im Nenner Null steht. Dass die Gleichung nicht lösbar ist, sieht man aber schon in der vorletzten Zeile. Ich glaube aber, ich habe meinen fehler entdeckt, dennoch schreibe ich alles mal ins Forum. Mein Fehler müsste beim Anwenden des 3. Logarithmus-Gesetzes liegen: log a (u^r) = r*log a (u) In dieser Gleichung steht aber 3^-x (negativer Exponent). Muss ich den Exponenten erst ins positive bringen ? Ich habs probiert und in den Taschenrechner eingegeben. Aber es kommt Error raus. |
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| 23.07.2004, 21:15 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein ist es nicht, da du 3^x durch z ersetzt und später sowieso rücksubstituirst. Du qweißt doch was x ist daraus folgt u > 0
Schwer zu sagen. Im allgemeinen bei polynomen mit nur geraden exponenten zum beispiel. Aber man braucht erfahrung, also viel rechnen!
Ja diese Aufgabe zum Beispiel, löse sie mit hilfe der Logarithmusgesetze! edit Wenn ich nicht irre ist das hier falsch 2*3^x + 4*3^-x = 6 <=> lg (2) + x*lg (3) + lg (4) - x*lg (3) = lg (6) es muss heissen wenn überhaupt 2*3^x + 4*3^-x = 6 <=> log(2*3^x + 4*3^-x) =log(6) Aber das ist sehr unhandlich so |
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| 23.07.2004, 21:31 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Exponetialgleichung
ist reine Übungs und Erfahrungssache. Der Geübte substituiert nicht unbedingt wirklich, sondern überspringt den Prozess mittels 'Analogiebildung' 2*3^x + 4*3^-x = 6 |* 3^x 2*3^2x + 4*1 = 6*3^x 2*3^2x - 6*3^x + 4 = 0 (3^x)^2 - 3*3^x + 2 = 0 (3^x)_1/2 = 3/2 +- sqrt(.....) x_1/2 = lg( (3^x)_1/2 ) / lg(3) 
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| 23.07.2004, 21:48 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kannst Du mir bitte den 2ten Schritt erklären? Was genau ist "_" für ein zeichen hier in dem Sinne, oder hast Du Dich vertippt ? Danke. |
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| 23.07.2004, 22:28 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das sollen Indizes sein. Poff hat nur die quadratische Gleichung gelöst und die Indizes sollen die 2 Lösungen andeuten (rechts steht ja +-). Gruß vom Ben |
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| 23.07.2004, 22:57 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
... da ist insgesamt nichts besonderes dahinter und unter jenem 'Zeichen' verbirgt sich auch keine Rechenoperation, sondern dies ist NUR eine 'übliche' SCHREIBWEISE um den Indexcharakter des angehängten darzustellen ... (3^x)^2 - 3*(3^x) + 2 = 0 z^2 - p*z + q = 0 siehst du nicht die Analogie der beiden Gl ?? die zweite hat die Lösungen z_1/2 = p/2 +- sqrt( (p/2)^2 - q ) ........... ' pq-Formel ' in REINER Analogie dazu, hat die Erste die Lösungen (3^x)_1/2 = 3/2 +- sqrt( (3/2)^2 - 2) .......... ' pq-Formel ' ergibt: (3^x)_1 = 3/2 + 1/2 = 2 lg((3^x)_1) = lg(2) x = lg(2) /lg(3) := genannt x_1 und (3^x)_2 = 3/2 - 1/2 = 1 ... x = lg(1) /lg(3) := genannt x_2 ........ (= 0) kommt auf die Substitution heraus, oder jene auf dieses ... je nachdem wie du's sehen willst .
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