Ableitung Kl. 11 Tangeten/Normale/Graphen

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Vengador Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung Kl. 11 Tangeten/Normale/Graphen
Hey Wink

ich schreibe morgen eine Matheklausur zum Thema Ableitung (Kl. 11) und habe Probleme mit einigen Übungsaufgaben für die Klausur. Wäre euch extrem dankbar wenn ihr mir helfen könntet .. ^^. Mir wäre schon geholfen wenn ihr mir nur den Ansatz bzw. grob sagt was ich da machen muss, keine genauen Rechnungen oder sonstiges das sollte ich auch selber schaffen.

Also zu den Aufgaben :

1. Gegeben : Funktion f mit Graphen K und zwei Punkte P und Q auf dem Graphen. Welcher Punkt R zwischen P und Q auf K hat von der Strecke PQ den Größten Abstand?

a) f(x)=0,5x²; P(1/2|1/8); Q(2|2)

2. Gegeben f mit f(x)=1/4x²+cx der Graph schneidet die X Achse in O(0|0) und A(a|0). die Tangenten schneiden sich im Punkt B. Zeigen sie das OAB stehts gleichschenkelig ist und bestimmen sie dann C so das es auch rechtwinkelig ist.


Das wärs soweit, ich bin echt am verzweifeln, weiß bei beiden Aufgaben nichtmal einen Ansatz, bin für jede noch so kleine Hilfe dankebar.
MfG Micha
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

für mich sind die aufgaben irgendwie nicht klar formuliert...kann das sein?
ich verstehe die 1. aufgabe gar nicght genau.


von welchem punkt gehen bei aufgabe 2. die tangenten aus?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der 1.) würde ich eine Skizze machen.
Hinweise:
1. Strecke PQ -> Was wäre wohl schlau zu tun, um damit rechnen zu können? Augenzwinkern
2. Wie rechnest du denn den Abstand zwischen einem beliebigem Punkt von K und der Strecke PQ aus?

Das sollte dann garnicht mehr so schwer sein.

air
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe bei 1. das so...
man soll einen punkt auf K finden der zwischen P und Q liegt und von der Strecke den größten Abstand hat...?!
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Freude Jap
Vengador Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1. Die Tangenten gehen von O und A aus.

zu
1. Strecke PQ -> Was wäre wohl schlau zu tun, um damit rechnen zu können? Augenzwinkern

Ja das ist mir wohl klar ^^ mein Problem liegt eher bei

2. Wie rechnest du denn den Abstand zwischen einem beliebigem Punkt von K und der Strecke PQ aus?

Genau das ist mein Problem Hammer
 
 
ich bin smile Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
für mich sind die aufgaben irgendwie nicht klar formuliert...kann das sein?


Find ich nicht!

Zur 2.Aufgabe:

Bei deinem Punkt A(a|0) kannst du a durch c aus drücken.

Also 1/4x²+cx=x*(1/4x+c)=0

Jetzt nach dem Motto "Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist."

Dann kannst du mit der ersten Ableitung die Tangentengleichungen bestimmen.

Den Schnittpunkt berechnest du durch Gleichsetzen der Tangentengleichungen.

Um zu zeigen, dass das Ganze gleichschenklig ist, musst du zwei gleiche Strecken haben/zeigen.

Wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander sind, dann ergeben die Steigungen multipliziert -1 (m*m'=-1).

Viel Glück! Augenzwinkern
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Also zur 1. nochmal:

Wie rechnest du denn den Abstand von 2 Punkten generell aus?
Wie rechnest du vereinfacht den Abstand 2er Punkte aus, die senkrecht übereinander liegen, also deren x-Wert gleich ist? (Zeichne dir vllt. ne Miniskizze, is garnich so schwer Augenzwinkern )

... Und wie rechnest du dann den Abstand von übereinanderliegenden Punkten aus, wobei jedes Punktpaar den Punkten auf auf den beiden Funktionen entspricht (Also f und der Funktion für Strecke PQ) smile

air
[Kontrolle: R(5/4 / 25/32)]
Vengador Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Also zur 1. nochmal:

Wie rechnest du denn den Abstand von 2 Punkten generell aus?
Wie rechnest du vereinfacht den Abstand 2er Punkte aus, die senkrecht übereinander liegen, also deren x-Wert gleich ist? (Zeichne dir vllt. ne Miniskizze, is garnich so schwer Augenzwinkern )

... Und wie rechnest du dann den Abstand von übereinanderliegenden Punkten aus, wobei jedes Punktpaar den Punkten auf auf den beiden Funktionen entspricht (Also f und der Funktion für Strecke PQ) smile

air
[Kontrolle: R(5/4 / 25/32)]


Hmm .. so langsam komm ich mir immer dümmer vor .. diese ganze Sache mit Abständen sagt mir überhaupt nicht zu, ich weiß einfach nicht (mehr?) wie man das errechnet und was die Aufgabe überhaupt mit Ableitung zu tun hat traurig

Also ich hab jetzt zuerst mir der 2-Punkt Form die Gleichung der Strecke PQ errechet also : g(x)=5/4x-1/2
Wie finde ich jetzt den Punkt mit dem größten Abstand zwischen dem Graphen und der Funktion f(x) ? Die Skizze hilft mir irgendwie auch nicht weiter ich weiß einfach nicht wie ich das angehen muss ..
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Also dein g(x) stimmt Freude

2 Punkte, die senkrecht übereinander liegen, haben als Entfernugn einfach die Differenz ihrer y-Werte (=Funktionswerte).
Ist auch ganz anschaulich. Die y-Werte geben ja die Entfernung zur x-Achse an, also Strecken. Diese Strecken subtrahieren und du hast die STrecke zwischen den 2 Punkten = ihr Abstand.

Allg. ist der Abstand zweier Punkte im 2D übrigens

(Bei übereinanderliegenden Punkten ist x2 = x1, damit (x2-x1)^2 = 0, Quadrat und Wurzel heben sich auf und es bleibt nurnoch die Differenz der y-Werte)

Wie kannst du also den Abstand zweier Funktionen (und zwar abhängig von x) berechnen? smile
Hinweis: Da kommt wieder eine Funktion heraus smile

Und da es wieder eine Funktion ist, und diese nun den Abstand von f und g angibt, kannst du den maximalsten Abstand ganz leicht berechnen (hier kommt dann erstmal wirklich Differentialrechnung ins Spiel Augenzwinkern )

air
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Also zur 1. nochmal:

Wie rechnest du denn den Abstand von 2 Punkten generell aus?
Wie rechnest du vereinfacht den Abstand 2er Punkte aus, die senkrecht übereinander liegen, also deren x-Wert gleich ist? (Zeichne dir vllt. ne Miniskizze, is garnich so schwer Augenzwinkern )

... Und wie rechnest du dann den Abstand von übereinanderliegenden Punkten aus, wobei jedes Punktpaar den Punkten auf auf den beiden Funktionen entspricht (Also f und der Funktion für Strecke PQ) smile

air
[Kontrolle: R(5/4 / 25/32)]


Ich glaube, da wird etwas ganz grob verwechselt! Es geht NICHT um den "übereinanderliegenden" Abstand, sondern um den Normalabstand des Kurvenpunktes von der Sekante!! Das ist ein großer Unterschied!
Übrigens: Die Tangente in dem gesuchten Kurvenpunkt ist parallel zu der Sekante! So könnte die Aufgabe auch ohne Differentialrechnung gelöst werden.

mY+
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthosIch glaube, da wird etwas ganz grob verwechselt! Es geht NICHT um den "übereinanderliegenden" Abstand, sondern um den Normalabstand des Kurvenpunktes von der Sekante!! Das ist ein großer Unterschied!


Stimmt, das wäre natürlich durchaus denkbar geschockt
Und die (aber wirklich ungünstige) Aufgabenstellung scheint wohl auch eher darauf rauszuwollen.

Nun, eine gute Übung für eine Arbeit sind beide Wege allemal smile
Nur ist der mit den Abstand über die Normale etwas komplizierter

air
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Nur ist der mit den Abstand über die Normale etwas komplizierter

air


ach wat! ein bißchen schauen, wann die wurzel null wird und schon bist du fertig! smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe (1) ist weit einfacher zu rechnen, als man denkt. Sowohl mit der Tangenteneigenschaft, als auch mit der Maximierung des Normalbstandes ist es eine Sache von wenigen Zeilen.

Pragmatischer ist es sicher, den Normalabstand mittels der Differentialrechnung zu maximieren. Dazu bringen wir die Sekante PQ auf die Hesse'sche Normalform, setzen dann dort einen Kurvenpunkt ein und das ist bereits dessen Normalabstand von der Sehne:





Nun haben wir damit schon eine Funktion d = d(x), erste Ableitung Null setzen und schon haben wir das x des gesuchten Punktes [Kontr. ]

Die Kontolle mittels der Steigung der Tangente:
Steigung der Sekante: , Parabelfunktion ableiten, nachsehen, wo diese Ableitung gleich ist, das ist bei der Fall.



Wenn es noch Unklarheiten zum 2. Beispiel gibt, bitte fragen.

mY+
Vengador Auf diesen Beitrag antworten »

Okay das erste Beispiel hab ich soweit verstanden, danke für die ausfürhlichere Erläuterung. Wäre echt nett wenn sich jmd. die Zeit nimmt und das für die 2te Aufgabe machen könnte .. da blick ich nämlich noch nicht so ganz durch. Gott
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne zunächst die Koordinate a des Punktes A, diese ist dann in c ausgedrückt. Dann gehst du so vor, wie schon von 'ich bin smile' beschrieben.

Hinweise: Die Steigungen der Tangenten in O und A erhält man, wenn die x-Werte in die erste Ableitung der Parabel eingesetzt werden. Die Gleichung einer Geraden, wenn deren Steigung m und ein Punkt ( ; ) bekannt sind, errechnet sich zu



Zum Beweis der Gleichschenkeligkeit des Dreieckes berechnet man die x-Koordinate des Schnittpunktes B und zeigt, dass diese genau halb so groß ist, wie die des Punktes A.

Fange mal bitte mit der Rechnung an, gegebenenfalls kann weitere Hilfe erfolgen, wenn man dann sieht, wo das Problem im Einzelnen liegt.

mY+
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@mythos

Mal eine Zwischenfrage zu dieser Normalabstandsache.
Kann man die Tatsache, dass die Tangente ans Schaubild an dem Punkt, bei dem der Abstand maximal ist, die selbe Steigung wie die Verbindungsgerade hat, folgendermaßen begründen:

1. Ein Punkt, bei dem die Steigung der Tangente gleich der Steigung der Steigung der Verbindungsgeraden ist, muss laut dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung vorhanden sein.
2. Dieser Punkt muss der maximale Abstand über die Normale von der Verbindungsgeraden sein, da am gesuchten Punkt x0 von f, bei dem die Normale f schneidet, der Graph von f relativ zur Verbindungsgeraden "umschlägt" (wäre also die Gerade die x-Achse, würde die Tangentensteigung am Punkt x0 das Vorzeichen wechseln). Damit ist es - relativ zur Geraden - eine "Extremstelle", die nun eben noch darauf zu prüfen wäre, ob es ein minimalster oder maximalster Abstand ist (o.ä.)

Nur dazu:
1. Wie kann man das besser ausdrücken?
2. Muss man es evtl. garnicht begründen (ich will es zwecks evtl. Aufgabe in einer Arbeit klären)?
3. ... oder darf man es gar als direkte Folge d. Mittelwertsatzes betrachten? (nach dem Motto "aus dem Mittelwertsatz d. Diff.rechnung folgt, dass ... ")

Ich hoffe du verstehst mein Problem. Ich will eben wissen wie ich die Vorgehensweise für eine Arbeit präzise, korrekt und vor allem kurz erklären kann.

air
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Gedankengang ist gut nachvollziehbar.
So: -> Die Gerade (Sekante) wird temporär als Nullachse angesehen; der gesuchte Punkt soll nun von ihr einen maximalen Abstand einnehmen und daher ist dieser Punkt ein relativer Hochpunkt mit einer zu der Sekante (= Nullachse) parallelen Tangente.

Der Mittelwertsatz stellt nur die Existenz diese Punktes sicher.

Es gibt noch einen interessanten Aspekt:

Auch der senkrechte Abstand zweier übereinanderliegender Punkte (der Parabel und der Geraden) ist in diesem Falle ein Maximum. Diese Tatsache kann an einem rechtwinkeligen Dreieck, das von der Geraden, der Normalen im Parabelpunkt auf die Gerade und der Ordinate (Normale zur x-Achse) in diesem Punkt gebildet wird, abgelesen werden. Wir können diese Dreiecke an beliebigen Punkten der Parabel einzeichnen und sehen dann, dass diese alle ähnlich sind und, dass, wenn der Normalabstand zur Geraden maximal wird, dies auch für den senkrechten Abstand zutrifft.

mY+
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Dass der MW-Satz nur dazu dient habe ich ja auch nicht anders gesagt smile

Was ich mich noch frage....Wie könnte man noch sicherstellen, dass es kein relatives Minimum bzw. kein relativer Sattelpunkt ist? (relativ zur Gerade jeweils)
Über die gängigen Kriterien geht es ja wohl nicht.
Und "Ablesen" wäre wohl eher unpraktisch (speziell in einer Arbeit).

air
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Steigungen der Tangenten ändern - relativ zur Nullachse - vor und nach dem Extremum ihr Vorzeichen, insgesamt verlaufen sie in der Nähe des Extremums monoton (was in einem Sattelpunkt nicht der Fall ist).

mY+
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, aber wie trennt man noch Minimum/Maximum?

air
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wiederum relativ zur Nullachse: Die Funktion ist konkav (Krümmung negativ, dazu muss die 2. Ableitung befragt werden, im Beispiel ist sie -4) oder man zeigt, dass in einer kleinen Umgebung der Extrtemstelle alle Abstandswerte kleiner als die im Extrempunkt sind.

mY+
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Kann die 2. Ableitung nicht auch trügerisch sein, da die Interpretation d. Ergebnisses dann davon abhängt, ob die Gerade unter- oder oberhalb der Funktion verläuft?

air
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kann es das, denn beim Nullsetzen der 1. Ableitung kommt es auf das Vorzeichen ja nicht an. Daher muss die Zielfunktion von vornherein das richtige Vorzeichen haben, also in diesem Fall sichergestellt sein, dass der Abstand positiv ist. Aus der Angabe ist ausserdem ersichtlich, dass die Gerade oberhalb der Parabel liegt.

mY+
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, jetzt bin ich nicht ganz mitgekommen.
Also: Nullsetzen der Ableitung ist doch eh unnötig, da die Gerade ja als x-Achse betrachtet wird. Man setzt die 1. Ableitung also vielmehr gleich der Steigung d. Geraden = der x-Achse.
Welche Zielfunktion meinst du?

Nun, ob die Gerade oberhalb von f liegt, ist ja nur in diesem Beispiel so, verstehst du, worauf ich rauswill?
Das ganze würde ich gern allgemeiner haben smile Dass bei einer Parabel, die nach oben geöffnet ist, die Gerade oberhalb liegen muss, ist klar. Aber wie sieht es mit allg. z.B. ganzrationalen Fkt. aus?

air
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich auf den ursprünglichen Fall bezogen, da du doch selbst von der 2. Ableitung gesprochen hast.

Auch bei beliebigen ganzrationalen Funktionen muss die zu optimierende Größe positiv sein. Bist du dir dessen nicht sicher, musst du den Betrag nehmen.

mY+
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, wir reden etwas aneinander vorbei.
Nochmal zum allgemeinen Fall:

Der Normalenabstand ist doch immer positiv. Wie also unterscheidet man maximale oder minimale Entfernung?

Vllt. bin ich jetzt auch etwas durcheinander Big Laugh

air
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einer anderen Aufgabenstellung könnte der Abstand auch durchaus einmal auch ein Minimum sein. Hier - in dieser speziellen Aufgabe - gibt es sinnvollerweise innerhalb des Segmentes ohnehin nur ein relatives Maximum, schon rein aus der Anschauung, aber der Form halber verifiziert man dieses noch mittels der 2. Ableitung. Dies versagt aber, wenn in der Zielfunktion das Vorzeichen gewechselt wurde, was ja keinen Einfluss auf die Nullstelle der 1. Ableitung hat, sich jedoch fatal auf die Prüfung des Vorzeichens bei der 2. Ableitung auswirkt. In diesem Fall muss man das entgegengesetzte Extremum verifizieren.

mY+
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich glaube nun hab ichs geschnallt...
Es kann zwar sein, dass man z.B. 2 Punkte erhält, bei denen die Steigung d. Tangenten gleich der Geradensteigung ist, aber wenn man den Normalenabstand selbst dann noch ausrechnet sind man ja schlichtweg, welcher Wert größer ist (der andere ist dann eher eine Art Minimum).

air
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