Verschoben! Fixvektor, Grenzmatrix, Grenzverteilung

24.02.2013, 20:18

Tarrew

Fixvektor, Grenzmatrix, Grenzverteilung

Hey.

Hab noch mal eine Frage.
Bezüglich den oben genannten Begriffen.

Fixvektor ist ja der Vektor der sich nicht verändert, wenn man ihn mit der Übergangsmatrix multipliziert wenn ich das richtig verstehe.

Also ist Fixvektor, das gleiche wie die stabile Verteilung? Oder ist der Fixvektor nur ein Verhältnis?

Ich hab zB die Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.6 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.7 & 0.1 \\ 0.2 & 0.2 & 0.8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann stelle ich ein LGS auf und bekomme raus:

x1 = t
x2 = 1.5t
x3 = 2.5t

Ist das jetzt der Fixvektor? $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1.5 \\ 2.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und gleichzeitig die stabile Verteilung?

Und gibt es einen Weg, die Grenzmatrix zu berechnen ohne A^x gegen unendlich laufen zu lassen?
Ist Grenzverteilung das selbe wie stabile Verteilung? Oder das selbe wie Grenzmatrix?

Und was für einen Sinn hat es überhaupt eine Grenzmatrix zu bilden? Wenn man eine Übergangsmatrix hat. Warum sollte man sie verändern bzw in welchem Sachzusammenhang oder so ähnlich :o

Hoffe mir kann da jmd weiterhelfen.

Greets

25.02.2013, 18:22

HAB

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RE: Fixvektor, Grenzmatrix, Grenzverteilung
Hallo!

Das mit dem Fixvektor hast du richtig vestanden.
Der von dir berechnete Fixvektor ist richtig berechnet.
Jedes Vielfache des von Dir berechneten Vektors ist aber ebenfalls ein Fixvektor.
(Setz z.B für t einen anderen Wert als 1 ein)
Von besonderem Interesse ist für das folgende der Fixvektor mit der Länge 1.
in unserem Falle der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,2 \\ 0,3\\ 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das mit der Grenzmatrix scheinst du auch richtig verstanden zu haben.
Du erhälst diese Grenzmatrix schnell mit Hilfe des oben berechneten Einheitsfixvektors:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,2 & 0,2 & 0,2 \\ 0,3 & 0,3 & 0,3 \\ 0,5 & 0,5 & 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Um Die Grenzverteilung zu einer gegebenen Anfangsverteilung zu erhalten, musst du einfach die Grenzmatrix mit der gegebenen Anfangsverteilung multiplizieren. z.B.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,2 & 0,2 & 0,2 \\ 0,3 & 0,3 & 0,3 \\ 0,5 & 0,5 & 0,5 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 400 \\ 350\\ 250 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}200 \\ 300\\ 500 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
oder die Summe der Komponenten der AAnfangsverteilung (in diesem Beispiel 1000) mit dem Einheitsfixvektor multiplizieren
$\begin{eqnarray*} 1000*\begin{pmatrix} 0,2 \\ 0,3\\ 0,5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 200 \\ 300\\ 500 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 200 \\ 300\\ 500 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wäre die Grenzverteilung der Anfangsverteilung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 400 \\ 350\\ 250 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.01.2017, 00:18

LilZou

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RE: Fixvektor, Grenzmatrix, Grenzverteilung
Ich weiß, dass der Beitrag etwas älter ist, aber ich denke auch, dass in nächster Zeit wieder öfter danach gegoogelt werden wird, da es eine Lehrplanumstellung an beruflichen Schulen in BW gab. Deshalb eine kurze Anmekrung zur Erklärung von HAB.

Zitat:

Von besonderem Interesse ist für das folgende der Fixvektor mit der Länge 1.

Richtig ist, dass der Vektor von besonderem Interesse ist, bei dem die Summe der Elemente 1 ergibt.

Das Ergebnis von Tarrew ist der allgemeine Fixvektor mit:
$\begin{eqnarray*} x_1 = t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 1,5\cdot t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 = 2,5\cdot t \end{eqnarray*}$

Um nun den Fixvektor zu erhalten der von Interesse ist rechnet man also:

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 = t + 1,5\cdot t + 2,5\cdot t = 5\cdot t \end{eqnarray*}$

Das setzt man gleich 1:

$\begin{eqnarray*} 5\cdot t = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ bzw. 0,2

Setzt man diesen t-Wert in den allgemeinen Fixvektor ein, erhält man den von HAB angegebenen Vektor:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,2 \\ 0,3\\ 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.01.2017, 00:59

Dopap

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RE: Fixvektor, Grenzmatrix, Grenzverteilung
warum sollte
$\begin{eqnarray*} \bigg|\begin{pmatrix} 0,2 \\ 0,3\\ 0,5 \end{pmatrix}\bigg|=1 \end{eqnarray*}$

gelten. verwirrt

03.01.2017, 01:12

Clearly_wrong

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Er betrachtet die $\begin{align*} \|\cdot\|_1 \end{align*}$ -Norm (Summennorm).

03.01.2017, 20:03

mYthos

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RE: Fixvektor, Grenzmatrix, Grenzverteilung

Zitat:

Original von HAB
...
Von besonderem Interesse ist für das folgende der Fixvektor mit der Länge 1.
...

Das ist m.E. dennoch falsch, zumindest schlecht ausgedrückt.
Besser wäre gleich "Betragssummennorm" oder "1-Norm" geschrieben worden.
Die Länge ist ein geometrische Begriff und hat eher mit dem "Betrag" ein Verwandtschaftsverhältnis.

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