Grenzwert einer Folge ...

24.02.2013, 21:08

Ungelehrter

Grenzwert einer Folge ...

Guten Abend,
ich habe eine Aufgabe, der ich nicht gewachsen bin.

Gegeben ist die Folge $\begin{eqnarray*} A_{n} = \frac{1}{2}nr^{2}\sin(\frac{2\pi}{n}); n \in \mathbb N, n \geq 3 \end{eqnarray*}$

Man solle die Folge mittels $\begin{eqnarray*} \frac{sin(\phi)}{\phi} \end{eqnarray*}$ darstellen, um folgende fundamentale Erkenntnis zu nutzen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{\phi \to 0} \frac{sin(\phi)}{\phi} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{n} \end{eqnarray*}$

Ich sehe ja bereits, dass die Folge konvergiert (gegen 0), aber ich soll es mit den geschilderten Mitteln zeigen ... Was muss ich tun um die Folge wie beschrieben darzustellen?

24.02.2013, 21:13

Che Netzer

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RE: Grenzwert einer Folge ...
Dann überlege dir mal, wie du $\begin{eqnarray*} \frac n2 \end{eqnarray*}$ mittels $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ausdrücken kannst.

Und wenn $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ nicht irgendeine weitere Bedeutung hat, geht die Folge aber nicht gegen Null...

24.02.2013, 21:35

Ungelehrter

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RE: Grenzwert einer Folge ...
Meine mathematischen Kenntnisse konvergieren auch gegen 0. Ich bin ein sehr leistungsschwacher Lernender ohne schicksalshafte Begabung.

Ich bitte um mehr Erklärung.

Was genau heißt

Zitat:

Original von Che Netzer
$\begin{eqnarray*} \frac n2 \end{eqnarray*}$ mittels $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ausdrücken

und wozu soll ich solches tun?

Soll ich $\begin{eqnarray*} \frac n2 = \phi \end{eqnarray*}$ setzen und nach n umstellen oder was genau ist gemeint?

24.02.2013, 21:37

Che Netzer

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RE: Grenzwert einer Folge ...
Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{2\pi}n \end{eqnarray*}$ ist (nach Definition).
Nun stelle diese Gleichung nach $\begin{eqnarray*} \frac n2 \end{eqnarray*}$ um.

24.02.2013, 21:58

Ungelehrter

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Ich habe mehrere Stunden Mathematik hinter mir und abgesehen von meiner geistigen Erschöpfung, die leider schnell einsetzt, fehlt mir auch dieser mathematische Blick fürs Offensichtliche ...

Nun ist $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{\phi} = \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ , aber wieso genau habe ich das so umgestellt? Welche Idee steckt dahinter?

24.02.2013, 22:03

Che Netzer

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Mit dieser Umstellung kannst du $\begin{eqnarray*} a_n=\frac\pi\phi r^2\sin\phi \end{eqnarray*}$ erhalten.
Bringt dich das weiter?

24.02.2013, 23:33

Ungelehrter

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Jetzt, nach einer Pause, habe ich begriffen, wieso ich so umstellen sollte.

Ja, dadurch ergibt sich: $\begin{eqnarray*} A_n=\frac\pi\phi r^2\sin\phi \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{sin\phi}{\phi} \pi r^2 \end{eqnarray*}$

Aber wie geht es weiter? Heißt das, die Folge ist nicht von n abhängig? Und kann man daraus folgern, dass diese Folge nicht konvergiert (sondern stagniert)?

25.02.2013, 00:01

Che Netzer

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Die Folge ist durchaus noch von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängig, da $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängt.
Es ist aber $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \phi\to0 \end{eqnarray*}$ .
Damit kannst du jetzt den Grenzwert bilden.

25.02.2013, 10:02

Ungelehrter

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Im Eingangsbeitrag dieses Themas schrieb ich, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{\phi \to 0} \frac{\sin \phi}{\phi} = 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

$\begin{eqnarray*} A_n=\frac{sin\phi}{\phi} \pi r^2 \end{eqnarray*}$

Schaut nun im Prinzip so aus: $\begin{eqnarray*} A_n= \pi r^2 \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Edit:

dann heißt das wohl $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} A_n = \pi r^2 \end{eqnarray*}$ ?

25.02.2013, 10:26

Che Netzer

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Zitat:

Original von Ungelehrter
dann heißt das wohl $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} A_n = \pi r^2 \end{eqnarray*}$ ?

Ja, so stimmt das Freude

26.02.2013, 17:57

Ungelehrter

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Ich danke Dir recht herzlich für Deine Hilfe, auch wenn Du etwas weniger enthaltsam hättest sein können. Soll heißen, etwas mehr Erklärung wäre gut gewesen. Augenzwinkern

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Grenzwert einer Folge ...

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