Konvergenz - Seite 2

25.02.2013, 13:04

Che Netzer

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Hatte ich schon:

Bestimme doch mal testweise $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ , ..., $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ .
Vielleicht kommt dir das Ergebnis bekannt vor.

25.02.2013, 13:07

Ice12

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Das wäre Wurzel aus 3 , 9 USW

Aber was sagt mir das ?

25.02.2013, 13:11

Che Netzer

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verwirrt

Fülle mal folgende "Tabelle" aus:
$\begin{align*} \sqrt{(-3)^2}&=&\sqrt{(-2)^2}&=&\sqrt{(-1)^2}&=\\\sqrt{1^2}&=&\sqrt{2^2}&=&\sqrt{3^2}&= \end{align*}$

Anschließend:
Wenn $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ , was ist dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ ?
Wenn $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ , was ist dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ ?

Eigentlich sollte diese ganze Diskussion nicht notwendig sein; was $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ ist, muss man wissen, wenn man sich schon mit Reihen beschäftigt unglücklich

unglücklich

25.02.2013, 13:38

Ice12

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Das Wurzel aus x^2 ist auch größer 0 .

???

25.02.2013, 13:42

Che Netzer

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Schon, $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ wird nie negativ, aber das beantwortet keine meiner Fragen.

25.02.2013, 13:59

ice12

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Achso für x> 0 ist die Wurzel aus x^2 positiv.
Meinst du das?

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25.02.2013, 14:00

Che Netzer

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Das stimmt zwar, aber man kann in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ sogar exakt angeben.

25.02.2013, 14:04

Calvin

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Bitte nicht so wieder seitenweise Diskussion über wurzel(x^2). Das hattet genau ihr zwei schon mal. Bitte abkürzen. Danke.

25.02.2013, 14:08

Ice12

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Da wäre es dann wohl x oder Che ?

P:s ich glaube Che und ich haben wieder mal keine Probleme über 300 Beiträge zu schaffen. Big Laugh

Big Laugh

25.02.2013, 14:11

Che Netzer

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Schön wäre es ja, wenn wir schon vor 100 fertig wären unglücklich

unglücklich

Ich wusste nicht mehr genau, mit wem ich die Diskussion um $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ schon hatte; bei deinen ganzen Namen bleibt das nicht gut in Erinnerung.
Aber dann sieh nach, worauf wir bei dieser Diskussion gekommen sind.
Oder gib meinetwegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ bei WolframAlpha ein.

25.02.2013, 14:50

Ice12

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Kann ich das einfach so schreiben ?

-1< x < 1 ?

25.02.2013, 14:57

Che Netzer

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Was möchtest du so schreiben?
Drück dich bitte etwas klarer aus.

25.02.2013, 15:02

Ice12

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-1/3 < x < 1/3

So in Ordnung?

25.02.2013, 15:06

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, das beschreibt tatsächlich genau die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für die die Reihe nach dem Quotientenkriterium konvergiert.
Allerdings hättest du das noch irgendwie kommentieren können.

Weißt du nun, welches Zwischenergebnis du hast und wie du weiter vorgehen musst?

25.02.2013, 15:09

Ice12

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Bin ich jetzt nicht fertig?

25.02.2013, 15:11

Che Netzer

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Nein, bist du nicht.
Du weißt jetzt, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} -\frac13<x<\frac13 \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Aber was ist mit den anderen Fällen?
1. $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert>\frac13 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x<-\frac13 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac13<x \end{eqnarray*}$ .
2. $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert=\frac13 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x=\pm\frac13 \end{eqnarray*}$ .

25.02.2013, 15:18

ice12

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Wie überprüfe ich die Fälle?

25.02.2013, 15:20

Che Netzer

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Für einen davon kannst du weiterhin das Wurzelkriterium verwenden.

25.02.2013, 15:43

ice12

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Wo soll ich das wurzelkriterium verwenden?

Das verstehe ich nicht.

25.02.2013, 15:50

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das Wurzelkriterium benutzt und einen Grenzwert $\begin{eqnarray*} 9x^2 \end{eqnarray*}$ erhalten. Du hast nun bestimmt, wann dieser kleiner als Eins ist und damit die Reihe konvergiert.
Was sagt das Wurzelkriterium noch aus?

25.02.2013, 16:31

Ice12

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Für kleiner 1 Konvergenz und für größer 1 divergent . Richtig?

25.02.2013, 17:58

Che Netzer

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Genau (zumindest meinst du das richtige).
Also...?

25.02.2013, 18:06

ice12

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Für

|x| > 1/3 divergiert es .

| x| < - 1/3 konvergiert es .

Ich hoffe es stimmt jetzt.

25.02.2013, 18:14

Che Netzer

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Zitat:

Original von ice12
| x| < - 1/3 konvergiert es .

Naja, hier sollte es natürlich $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert<\frac13 \end{eqnarray*}$ heißen.

Aber ja, sonst stimmt es. Und jetzt bleiben nur noch die Fälle $\begin{eqnarray*} x=\frac13 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=-\frac13 \end{eqnarray*}$ .

25.02.2013, 18:18

ice12

Auf diesen Beitrag antworten »

Für x = - 1/3 konvergiert es .

Für x = 1/3 konvergiert es auch .

Richtig?

25.02.2013, 18:19

Che Netzer

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Wieso denn?

25.02.2013, 18:29

ice12

Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll ich sonst mit diesen 2 Fällen machen?

25.02.2013, 18:33

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du denn bisher gemacht?
Wie bist du darauf gekommen, dass die Reihe für diese beiden Werte von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert?

25.02.2013, 18:37

ice12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich hatte die Ungleichung aufgelöst.

Ja es konvergiert ja eigentlich für die beiden Werte .

Damit müsste ich doch fertig sein oder?

25.02.2013, 18:38

Che Netzer

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Welche Ungleichung denn?

Und nochmal: Wie begründest du, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{(3x)^{2n+1}}{n+9} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=\pm\frac13 \end{eqnarray*}$ konvergiert?

25.02.2013, 19:04

ice12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt begründen weiss ich auch nicht.

Kannst du es mir sagen?

Alles kann ich ja auch nicht wissen.

25.02.2013, 19:14

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ein wenig könntest du durchaus wissen.

Dann setze doch erstmal $\begin{eqnarray*} x=\frac13 \end{eqnarray*}$ in die genannte Reihe ein. Wie sieht die Reihe dann aus?

25.02.2013, 19:19

ice12

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Dann kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{2n+1}}{n+9} \end{eqnarray*}$

Was mache ich jetzt weiter ?

Gruß

ice12 ( der beste )

25.02.2013, 19:58

Che Netzer

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Zitat:

Original von ice12
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{2n+1}}{n+9} \end{eqnarray*}$

Naja, da hast du $\begin{eqnarray*} x=-\frac13 \end{eqnarray*}$ eingesetzt.
Jedenfalls kannst du den Zähler jetzt vereinfachen.

Zitat:

Gruß

ice12 ( der beste )

Was soll das denn werden?

25.02.2013, 20:06

ice12

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$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{2n}*(-1)}{n+9} \end{eqnarray*}$

So ?

PS: Bisschen Spass Big Laugh

Big Laugh

25.02.2013, 20:46

Che Netzer

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Das stimmt soweit, wenn noch das Summenzeichen vorgesetzt wird.
Und jetzt kannst du hoffentlich $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n} \end{eqnarray*}$ vereinfachen.

25.02.2013, 20:54

ice12

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Das wäre (1)^n oder ?

25.02.2013, 21:50

Che Netzer

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Und das kannst du noch weiter vereinfachen.

25.02.2013, 22:28

Ice12

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1^n = 1 ?

25.02.2013, 22:29

Che Netzer

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Genau. Und was bleibt bei der Reihe also übrig?

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