Konvergenz

25.02.2013, 10:29

ice12

Konvergenz

Hallo leute ich habe gerade bei dieser Aufgabe probleme:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(3x)^{2n+1}}{n+9} \end{eqnarray*}$

Hat jemand tipps für mich?

25.02.2013, 10:32

Che Netzer

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RE: Konvergenz
Wie lautet denn die Aufgabe?

25.02.2013, 10:32

ice12

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Die Aufgabenstellung lautet:

Bestimmen sie , für welche x element R diese Reihe konvergent bzw. divergent ist .

Geben sie im Falle von Konvergenz an ob es sich um absolute Konvergenz handelt.

25.02.2013, 10:33

Che Netzer

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Gut, dann bestimme als erstes mal den Konvergenzradius.

25.02.2013, 10:34

ice12

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Soll ich hier das quotientenkriterium anwenden?

25.02.2013, 10:38

Che Netzer

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Ja, das wäre eine Möglichkeit.

25.02.2013, 10:43

ice12

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$\begin{eqnarray*} \frac{(3x)^2 *(n+9)}{(n+10)} \end{eqnarray*}$

Stimmt es soweit?

25.02.2013, 10:46

Che Netzer

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Ja, und wann ist das im Grenzwert $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ kleiner als Eins?

25.02.2013, 11:03

ice12

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Der Zähler und der Nenner gehen doch gegen unendlich . Unendlich durch unendlich = 0?

25.02.2013, 11:23

Che Netzer

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Es ist aber auch $\begin{eqnarray*} 2=\frac{2n}n \end{eqnarray*}$ , obwohl dort ebenfalls Zähler und Nenner gegen Unendlich gehen.

25.02.2013, 11:25

Ice12

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Soll ich den Term irgendwie noch vereinfachen vorher ?

25.02.2013, 11:28

Che Netzer

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Kannst du, wenn du möchtest.
Eigentlich sollte die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}9x^2\frac{n+9}{n+10} \end{eqnarray*}$ aber keine Schwierigkeiten machen.

25.02.2013, 11:31

ice12

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Der Grenzwert geht gegen unendlich oder?

25.02.2013, 11:34

Che Netzer

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Nein.
Wie kamst du denn darauf?

25.02.2013, 11:36

ice12

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Ich weiß auch nicht , hab's einfach gedacht.

Ok kleine frage unendlich durch unendlich ergibt doch 0 oder?

25.02.2013, 11:39

Che Netzer

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Unendlich durch Unendlich ist überhaupt nicht definiert geschockt

Na gut, dann müssen wir nochmal $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{n+9}{n+10} \end{eqnarray*}$ berechnen. Kürze den Bruch dazu durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

25.02.2013, 11:42

ice12

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Ich denke es kommt 1 raus oder ?

Also 9x^2. richtig?

25.02.2013, 11:43

Che Netzer

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Genau.
Und wann ist das kleiner als Eins?
Wann ist es größer als Eins?

25.02.2013, 11:45

ice12

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Kleiner ist es nur wenn x negativ ist oder ?

Größer 1 ist es für positive Zahlen ?

25.02.2013, 11:48

Che Netzer

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D.h. $\begin{eqnarray*} 9x^2 \end{eqnarray*}$ ist genau dann kleiner als Eins, wenn $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ?
Nein, keineswegs.
Du könntest stattdessen mal die Wurzel ziehen.

25.02.2013, 11:50

ice12

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Dann hätte ich 3x stehen oder?

Aber wie gehe ich weiter vor?

25.02.2013, 11:51

Che Netzer

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Nein, hättest du nicht Augenzwinkern

Was ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ ?

25.02.2013, 11:52

ice12

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x oder?

25.02.2013, 11:55

Che Netzer

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Und was wäre, wenn $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ? Dann wäre deiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} \sqrt1=\sqrt{(-1)^2}=-1 \end{eqnarray*}$ .

25.02.2013, 11:56

ice12

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Ah ich glaube es ist + x und - x . Richtig?

25.02.2013, 11:56

Che Netzer

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Beides gleichzeitig?

25.02.2013, 12:01

ice12

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Muss ich jetzt ne fallunterscheidung machen ?

25.02.2013, 12:05

Che Netzer

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Sowas in der Art.
Aber es gibt da etwas, was dir das schon abnimmt.
Das Wurzelziehen ist zwar in gewissem Sinne die Umkehrung des Quadrierens, das Ergebnis ist dabei aber nie negativ.

25.02.2013, 12:06

ice12

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Was muss ich dann jetzt genau machen?

25.02.2013, 12:10

Che Netzer

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Überlegen, was $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ ist.

Sagt dir der Begriff "Betrag" etwas?

25.02.2013, 12:14

ice12

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Ja der Betrag ist ja immer positiv ?

25.02.2013, 12:20

ice12

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Was muss ich aber genau weiter machen?

25.02.2013, 12:26

Che Netzer

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Das hier musst du "genau weiter machen":

Zitat:

Original von Che Netzer
Überlegen, was $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ ist.

25.02.2013, 12:27

ice12

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Ok wen man den Betrag nimmt , dann kann es ja nur x sein oder?

25.02.2013, 12:28

Che Netzer

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Wenn man den Betrag wovon nimmt, kann was nur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sein?

25.02.2013, 12:34

ice12

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Wenn man den Betrag aus Wurzel aus x^2 nimmt oder?

Oder was mache ich dauernd falsch?

25.02.2013, 12:35

Che Netzer

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Nein, $\begin{eqnarray*} \lvert\sqrt{x^2}\rvert \end{eqnarray*}$ ist nicht (immer) $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Bestimme doch mal testweise $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ , ..., $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ .
Vielleicht kommt dir das Ergebnis bekannt vor.

25.02.2013, 12:39

ice12

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Ich glaube das gilt nur für positi e zahlen oder weil man aus negativen Zahlen ja keine Wurzel ziehen kann?

25.02.2013, 12:43

Che Netzer

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Was gilt nur für positive Zahlen?
Und wo wird hier versucht, aus einer negativen Zahl die Wurzel zu ziehen?

25.02.2013, 12:59

ice12

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Oh man ich glaub du musst mir irgendwie noch einen Tipp geben. Bitte hilf mir.