berührungspunkt

19.02.2007, 13:00

ucar

berührungspunkt

hallo zusammen,

ich habe ein problem mit der folgenden aufgabe

ich habe zwei funktionne gegeben und soll zeigen, dass sich die graphen dieser beiden funktionen in einem punkt berühren. anschließend soll ich bestimmen, welche anderen punkte sie noch gemeinsam haben

so, die funktionen lauten folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= e^{x^2} -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)= (e-1) x² \end{eqnarray*}$

für den berührungspunkt gilt ja f(x)=g(x), das heißt

$\begin{eqnarray*} e^{x^2} -1= (e-1) x² \end{eqnarray*}$

diese funktion kann ich aber nicht auflösen????? verwirrt

19.02.2007, 13:04

tigerbine

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RE: berührungspunkt
Bitte Latex edit kontrollieren.

Schnitt sollte nur mit Näherungsfahren berechnenbar sein.

Was gilt noch in einem Berührungspunkt?

19.02.2007, 13:06

ucar

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hmmm keine ahnung

19.02.2007, 13:09

tigerbine

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Was ist der Unterschied zwischen berühren und schneiden?

19.02.2007, 13:15

ucar

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keine ahnung unglücklich

19.02.2007, 13:18

tigerbine

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Das eine kann sehr schmerzhaft sein... Big Laugh

Spaß beiseite...

19.02.2007, 13:27

ucar

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ich glaube ich bin ein hoffnungsloser fall

19.02.2007, 13:33

tigerbine

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Auch wenn Rosenmontag ist, was sagt dir der Begriff Tangente?

19.02.2007, 13:37

ucar

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steigung einer funktion

19.02.2007, 13:41

tigerbine

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Nein

Kürzen wir das jetzt ab.

Wenn sich 2 Funktionen schneiden, dann gilt: f(x) = g(x)

Wenn sie sich berühren, dann gilt noch f'(x) = g'(x)

Vergleiche den Plot.

19.02.2007, 13:54

ucar

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hmm, ist das immer so?

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x^2} -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2xe^{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=(e-1) x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x)=2xe - 2x \end{eqnarray*}$

f'(x) = g'(x)

$\begin{eqnarray*} 2x* e^{x^2}= 2xe - 2x \end{eqnarray*}$ | geteilt durch 2x

$\begin{eqnarray*} e^{x^2}= e - 1 \end{eqnarray*}$

muss ich jetzt mal ln rechnen

19.02.2007, 13:58

tigerbine

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Bitte schreib sauber in Latex. Siehe signatur und woie ich es oben editiert haben. unglücklich

19.02.2007, 14:01

ucar

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schuldigung, ist das jetzt besser so?

19.02.2007, 14:03

tigerbine

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Noch nicht wirklich. schau dir mal die Pozenzen an. Falsche Klammern

19.02.2007, 14:08

ucar

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jetzt aber!

19.02.2007, 14:12

ucar

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dann habe ich ja

x²= ln (e-1)

und jetzt?

19.02.2007, 14:16

tigerbine

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Zitat:

Original von ucar
hmm, ist das immer so?

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x^2} -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2xe^{x^2} \end{eqnarray*}$ Freude

$\begin{eqnarray*} g(x)=(e-1) x^2 = e\cdot x^2-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x)=2e\cdot x - 2\cdot x = 2(e-1)\cdot x \end{eqnarray*}$ Freude

$\begin{eqnarray*} f'(x) = g'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x\cdot e^{x^2}= 2(e-1)\cdot x \end{eqnarray*}$ Freude

Jetzt müssen wir ersteinmal eine Vereinbarung treffen. für $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ ist die Gleichung erfüllt. Sei jetzt $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} e^{x^2}= e-1 \end{eqnarray*}$

Berechnung mit ln

$\begin{eqnarray*} x^2 = \ln(e-1) \approx 0.54 > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} = \pm \sqrt{\ln(e-1)} \end{eqnarray*}$

Welche der x's erfüllen auch f(x)=g(x)? Einsetzen!

19.02.2007, 14:18

ucar

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ist ok

19.02.2007, 14:19

tigerbine

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Edit

19.02.2007, 14:21

ucar

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ok, kann ich nachvollziehen. wie bekomme ich denn raus, welche punkte sie noch gemeinsam haben?

19.02.2007, 14:23

tigerbine

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Nur durch Näherungsverfahren und Kurvendiskussion.

19.02.2007, 14:24

ucar

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warum denn
verwirrt

edit: und wie? soll ich jetzt mit beiden funktionen eine kurvendiskussion durchführen? ich kann nicht nachvollziehen, wie ich dadurch die berührungspunkte herausbekommen soll

19.02.2007, 14:31

tigerbine

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Für die Berühungspunkte gibt es nur 3 Kanditaten. Die haben wir mit den ableitungen berechnet, diejenigen, die auch einen Schnittpunkt bilden, sind die Berührungspunkte. (*)

du hast gefragt, ob es noch mehr Schnittpunkte gibt. Das kann man nur durch gleichsetzten der Funktion bestimmen. Die Lösung ist aber nur numerisch möglich. Oder durch Kurvendiskussion mit den in (*) bestimmten Berührungspunkten.

19.02.2007, 14:36

ucar

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also, die beiden funktionen berühren sich nur bei x=0, da nur x=0 die gleichung f(x)=g(x) erfüllt

um weitere gemeinsame punkte zu berechnen, muss ich also f(x)=g(x) berechnen

das ist dann $\begin{eqnarray*} h(x)= ex^2-x^2-e^{x^2}-1 \end{eqnarray*}$

"du hast gefragt, ob es noch mehr Schnittpunkte gibt. Das kann man nur durch gleichsetzten der Funktion bestimmen. Die Lösung ist aber nur numerisch möglich. Oder durch Kurvendiskussion mit den in (*) bestimmten Berührungspunkten. "

das verstehe ich nicht! Forum Kloppe

19.02.2007, 14:48

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} = \pm \sqrt{\ln(e-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_1)= e^{(x_1)^2} -1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x_1)= (e-1) (x_1)^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_1)= e^{(x_2)^2} -1 = e^{\ln(e-1)} -1 = (e-1) -1 = e -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x_1)= (e-1) (x_2)^2 = (e-1)(\ln(e-1)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_1)= e^{(x_3)^2} -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x_1)= (e-1) (x_3)^2 \end{eqnarray*}$

Also liegt nur bei $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ ein Berührpunkt vor.

Weitere Schnittpunkte müssen argumentativ, durch probieren oder Kurvendiskussion gefunden werden.

Hilfestellung

19.02.2007, 14:57

ucar

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heißt das dass ich jetzt eine kurvendiskussion der beiden funktionen durchführen muss und dadurch dann schaue, welche werte gleich sind (bsp: wenn beide einen wendepunkt bei (5/10)(nur geraten) haben schneiden sich die punkte????? verwirrt

19.02.2007, 15:04

tigerbine

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Du hast einen gemeindamen punkt mit gleicher Steigung. Wenn nun icht gilt, dass die Steigung der einen Funktion immer größer als die der anderen ist, besteht die Chance auf weitere Schnittpunkte. Desweteren sind beide Funktionen stetig. Bilde die Differenzfunktion. Zeige dass sie sowohl Werte gßer als auch kleiner Null annimmt. Dann muss sie nach dem Zwischenwertsatz Nullstellen haben.

Mit der Skizze, sind wir motiviert, die Funktionswerte für $\begin{eqnarray*} x_{4,5} = \pm 1 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

$\begin{eqnarray*} f(x_4)= e^{(1)^2} -1 = e-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x_4)= (e-1) (1)^2 = e-1 \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

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