Residuum von ...

25.02.2013, 14:16	zFABU	Auf diesen Beitrag antworten »
Residuum von ... Ich habe z.Z. das Vergnügen Residuen auszurechnen und dabei ist mir im Kontext einer anderen Aufgabe (zur Bestimmung des Grades einer Polstelle einer meromorphen Funktion) die Funktion $\begin{eqnarray} \frac{z}{cos(z)-1} \end{eqnarray}$ begegnet. Davon würde ich gerne das Residuum ausrechnen. Ich muss da nix abgeben oder so ich würde es nur gerne wissen, denn: Ich kenne die Formel: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(m-1)!}g^{(m-1)} \end{eqnarray}$ , wobei gilt: $\begin{eqnarray} g(z)=(z-z_0)^mf(z) \end{eqnarray}$ . Aber das kann ich ja nur schlecht verwenden, da mein "z" ja "cos z" ist. (ganz nebenbei würde mich auch die laurentreihe interessieren )
25.02.2013, 17:59	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Tip wäre, für cos(z) einfach mal die Potenzreihe einzusetzen
26.02.2013, 12:51	ZardoZ	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Laurentreihe Entwicklung von f mit Entwicklungspunkt z=0 ist $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{z}{1-\cos(z)}=z\left(\frac{1}{1-\cos(z)}\right)=z\left(-\frac{2}{z^2}-\frac{1}{6}+\mathcal{O}(z)\right)=-\frac{2}{z}-\frac{1}{6}z+\mathcal{O}(z^2)=\underset{\underset{c_{-1}}{\downarrow}}{(-2)}z^{-1}-\frac{1}{6}z+\mathcal{O}(z^2) \end{eqnarray}$ so das Residuum von f an z=0 ist -2. Mit der gleichen Weise können wir die Residuen in der allgemeinen Pole berechnen, $\begin{eqnarray} \textrm{Residue}\left(f(z);z=2k\pi\;\&\;k\in\mathbb{Z}\right)=-2 \end{eqnarray}$ .
26.02.2013, 17:32	zFABU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte mal eine ähnliche Aufgabe, die wir folgendermaßen gelöst haben: $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+sin^2(x)} \rightarrow R(z) = \frac{1}{z}\frac{1}{1+(\frac{z-\frac{1}{z}}{2i})^2} = \frac{4z}{z^4-6z^2+1} \end{eqnarray}$ und, dann ist es ja einfach. Aber woher kommt das $\begin{eqnarray} z-\frac{1}{z} \end{eqnarray}$ ? Was mir bekannt vorkommt ist $\begin{eqnarray} \exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac xn \right)^n \end{eqnarray}$ da ja gilt: $\begin{eqnarray} \sin x = {1 \over 2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} \right) \end{eqnarray*}$ aber diese erkenntnisse, lassen es alles andere als klar werden. Und im auf die eigentliche Funktion zurückzukommen: geht soetwas auch mit cosinus?
27.02.2013, 00:31	ZardoZ	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sin(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2i} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \text{f\"ur }e^{ix}=z\Rightarrow ie^{ix}\;dx=dz \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^{-ix}=\frac{1}{z} \end{eqnarray}$ , so $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+\sin(x)^2}=\frac{ie^{ix}}{ie^{ix}(1+\sin(x)^2)}\Rightarrow \frac{ie^{ix}}{ie^{ix}(1+\sin(x)^2)}=\frac{dz}{iz\left(1+\left(\frac{z+\frac{1}{z}}{2i}\right)^2\right)}=\frac{dz}{iz}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{z+\frac{1}{z}}{2i}\right)^2}=-\frac{4zi}{z^4-6 z^2+1}\;dz \end{eqnarray}$ Ich glaube, dass Sie das Integral $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{1+\sin(x)^2}\;dx \end{eqnarray}$ berechnen wollte.

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