Integralrechnung mit Funktionsschar

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25.02.2013, 14:42	chuckydresden	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung mit Funktionsschar Meine Frage: Gegeben ist die Funktionsschar $\begin{eqnarray} fk(x) -\frac{1}{k}x²+k \end{eqnarray}$ mit k>0 Aufgabe: Für welches k ist Inhalt der Fläche, die der Graph von fk mit der x-Achse einschließt, gerade 12 Flächeneinheiten groß? Meine Ideen: $\begin{eqnarray} A = \int_k^-k \! fk(x) \, (-\frac{1}{k}x²+k <br /> 12 = \left[-(ln \|k\|) \frac{1}{3} x^{3} + kx \right]_{-k}^{k} <br /> 12 = [-(ln \|k\|) \frac{1}{3} k^{3} + k(k)] - [-(ln \|k\|) \frac{1}{3} (-k)^{3} + k(-k)]<br /> 12 = -(ln \|k\|) \frac{1}{3} k^{3} + k² -(ln \|k\|) \frac{1}{3} k^{3} + k²<br /> 12 = 0 ??? \end{eqnarray*}$ Die Linke und Rechte Seite sind ja identisch, und sie werden ja von einander subtrahiert, also entsteht 12=0. Wo liegt mein Fehler und wie kann ich die Aufgabe zuende lösen? Edit Steffen: LaTeX-Tags eingefügt
25.02.2013, 15:04	koala_bearchen	Auf diesen Beitrag antworten »
schau bitte das du die richtige Latex formatierung verwendest, so wie es gerade is kann dir glaub keiner helfen
25.02.2013, 15:44	chuckydresden	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Steffen. So jetzt müsste jeder meine Rechnung lesen können.
25.02.2013, 15:57	koala_bearchen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A = \int_k^-k \! fk(x) \, (-\frac{1}{k}x²+k <br /> 12 = \left[-(ln \|k\|) \frac{1}{3} x^{3} + kx \right]_{-k}^{k} <br /> 12 = [-(ln \|k\|) \frac{1}{3} k^{3} + k(k)] - [-(ln \|k\|) \frac{1}{3} (-k)^{3} + k(-k)]<br /> 12 = -(ln \|k\|) \frac{1}{3} k^{3} + k² -(ln \|k\|) \frac{1}{3} k^{3} + k²<br /> 12 = 0 ??? \end{eqnarray}$ dein letzter rechenschritt is glaub falsch sollte da nicht 12 = 2k^2 rauskommen ?
25.02.2013, 16:16	chuckydresden	Auf diesen Beitrag antworten »
"12 = 2*k^2" Wie den das? Kannst Du bitte Deine Rechung mir erläutern?
25.02.2013, 20:55	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung mit Funktionsschar Ich bitte um Entschuldigung, dass ich mich hier in die Diskussion einmische, aber ich habe eine Verständnisfrage: 1. Du schreibst, dass eine Funktionsschar gegeben sei. Dazu gehört nach meiner Meinung eine Gleichung. Da steht aber keine Gleichung. Könnte es vielleicht sein, dass Du meintest: $\begin{eqnarray} f_k(x)= -\frac{1}{k}x²+k~,~k>0 \end{eqnarray}$ 2. Bei der Integration: Welches ist denn Deine Integrationsvariable? k oder x? Du bildest nämlich von beiden (allerdings nicht richtig) die Stammfunktion und das kann dann irgendwie nicht mehr klappen. 3. Erleuchte mich!
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26.02.2013, 17:35	Chucky123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es geht um die Gleichung die du nennst. Die habe ich doch genauso in meiner Frage stehen Ich hab bei der Bildung der Stammfunktion k wie eine Zahl behandelt und k überall dann für "x" eingesetzt, damit ich nur noch eine Variable habe. Ist das falsch? Wie mache ich es dann richtig?
26.02.2013, 20:48	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Zu einer Gleichung gehört ein Gleichheitszeichen; das hatte ich vermisst. 2. Wenn k > 0 sind die Graphen der Schar nach unten geöffnete Parabeln. Wenn Du also die Fläche zwischen Graph und Parabel suchst, brauchst Du erst einmal die Nullstellen, die allerdings hier von k abhängen. 3. Dann integrierst von Nullstelle zu Nullstelle und betrachtest bei dieser Rechnung k als Konstante. Du hast bei der Integration k als Variable betrachtet. Ein paar Beispiele, die nichts mit Deiner aktuellen Aufgabe zu tun haben, die Dir aber zeigen sollen, worauf es ankommt: $\begin{eqnarray} \int(3k)dx = 3kx+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int\left( -\frac1{k^2}x^3 + k \right)dx = -\frac1{k^2} \cdot \frac14 \cdot x^4 + kx +c \end{eqnarray}$ 4. Du bekommst die von x-Achse und Graph eingeschlossene Fläche in Abhängigkeit von k. Da die Flächengröße bekannt ist, kannst Du nun - und erst jetzt! - den Wert für k bestimmen.
27.02.2013, 12:20	Chucky123	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Die Nullstellen habe ich als N (0/ +k und -k) Dann habe ich ja das Integral von -k zu k gebildet wie oben in der Rechnung. Ich steh hier echt auch dem Schlauch
27.02.2013, 14:19	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön. Deine Nullstellen sind also N_1(-k / 0) und N_2(k / 0) Die eingeschlossene Fläche ist dann, wie Du schon geschrieben hast: $\begin{eqnarray} A = \int_{-k}^k\left( -\frac{1}{k}x²+k \right)dx \end{eqnarray}$ Wie Du am dx erkennen kannst, ist x die Integrationsvariable. Alles, was k heißt, ist ein konstanter Faktor und bleibt bei der Integration erhalten.
27.02.2013, 16:18	Chucky123	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: $\begin{eqnarray} \left[-\frac{1}{k}2x+k\right]_{k}^{-k} \end{eqnarray*}$ ?? Edit: bzw. jetzt muss ich ja noch das x durch jeweils "k" und "-k" ersetzten, richtig?
27.02.2013, 16:26	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hast Du das x² abgeleitet. EDIT: Ich muss jetzt los, die Pflicht ruft
28.02.2013, 12:43	Chucky123	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja aber ich dachte das k soll ich als Konstante ansehen und deshalb nicht verändern???
03.03.2013, 22:35	chuckydresden	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir bitte jemand weiter helfen? Edit: Ich bin Chucky123. Nur fals sich jemand wundert. Ich hab hier 2 Accounts
04.03.2013, 07:23	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen! 1. Nur als Vorübung: $\begin{eqnarray} \int(x)dx =? \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int(3x^5)dx=? \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int(k \cdot x^2)dx=?~,~k \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ 2.Du wolltest bestimmen: $\begin{eqnarray} A = \int_{-k}^k\left( -\frac{1}{k}x²+k \right)dx \end{eqnarray}$ Du wirst mittlerweile dieses Ergebnis haben(?): $\begin{eqnarray} A(k)=\left[-\frac1{3k} x^3 + kx \right]_{-k}^k \end{eqnarray}$ Jetzt - aber erst jetzt - kannst Du k für x einsetzen und A(k) bestimmen. 3. Denke bitte daran, dass A(k) einen bestimmten Wert haben soll. Mit Hilfe dieses Wertes kannst Du dann den k-Wert berechnen.

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