Definitionslücken gebrochen rationale Funktionen

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SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »
Definitionslücken gebrochen rationale Funktionen
Meine Frage:
Ich hab mal eine Frage bzw gleich ein paar mehr.... mal wieder..
Und zwar handelt es sich um hebbare Definitionslücken. Gibt es da eig ein Unterscheid zwischen hebbar und nicht hebbar?
Naja meine Frage wäre was einem eine hebbare Definitionslücke bringt bzw wie man diese berechnet..
Ebenso das verhalten gegen unendlich.. Also warum was in welche gleichung einsetzt.. und wie man sich da richtig annähert..
wäre schön wenn jmd mir das mal schritt für schritt erklären könnte.

Meine Ideen:
Ich weiß nur das wenn der Nenner eine Nullstelle hat dies entweder eine Polstelle ist, oder eine hebbare definitionslücke wenn der zäähler die gleiche Nullstelle hat aber was man dann macht weiß ich leider nicht...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist richtig, dass es einen Unterschied macht, ob man eine Funktion hat, die dieselbe Nennernullstelle auch im Zähler hat, oder ob das nicht der Fall ist.

Das macht einen gewaltigen Unterschied im Graphen.
Hat man eine hebbare Nennernullstelle, so hat der Graph an der "problematischen" Stelle nur eine Definitionslücke. Bei einer nichthebbaren Nennernullstelle haben wir es mit einer Polstelle zu tun. Der Graph divergiert hier also ins Unendliche.




Für das Verhalten im Unendlichen betrachest du, was die Funktion wohl macht, wenn wir uns "ganz weit rechts bzw. links" auf der x-Achse befinden.
Was man da genau macht, solltest du aber in einem Schulbuch nachlesen. Hier alles aufzurollen übersteigt die Möglichkeiten des Forums.
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das macht einen gewaltigen Unterschied im Graphen.
Hat man eine hebbare Nennernullstelle, so hat der Graph an der "problematischen" Stelle nur eine Definitionslücke. Bei einer nichthebbaren Nennernullstelle haben wir es mit einer Polstelle zu tun. Der Graph divergiert hier also ins Unendliche.


Also soweit heißt das ist im Nenner eine Nullstelle vorhanden im Zähler aber nicht (also die gleiche) Dann ist dies eine nichthebbare Nullstellle zu tun was eine Polstelle ist anders gesagt. bsp:

Nullstelle des nenners ist -6 ist im Zähler nicht vorhanden heißt also Polstelle.

Gibt es aber im Zähler sowie Nenner eine gleiche Nullstelle dann ist es eine hebbare Nullstelle bsp:


hier ist die gemeinsame Nullstelle +3 heißt an der der stelle +3 gibt es eine Definitionslücke. Aber was passiert dann bei dieser Definitionslücke? Muss man hier auch etwas mit "gegen unendlich" machen oder nicht?

Zitat:
Für das Verhalten im Unendlichen betrachest du, was die Funktion wohl macht, wenn wir uns "ganz weit rechts bzw. links" auf der x-Achse befinden.

Das Verhalten gegen unendlich gibt es doch nur bei Polstellen oder?
und meine Frage könnte eigentlich recht einfach beantwortet werden glaube ich..
Gibt es da eine Funktion in der man dann die werte weit im positiven und negatien breich einfügt oder wird das in die ausgangsfunktion eingefügt.. ?
und wie ist das dann mit diesem VZW ??

PS: danke equester das du mich mal wieder erhörst !!! smile
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zu deinen ersten beiden Absätzen. Ja, das ist korrekt. Bei x=-6 haben wir eine Polstelle.

Bei x=3 hingegen haben wir eine hebbare Definitionslücke. Wie ich schon sagte, sieht man das am Verhalten des Graphen.
Nehmen wir gerade mal eine Funktion die beides besitzt: Polstelle und hebbare Definitionslücke:






Wie du erkennst haben wir eine hebbare Definitionslücke bei x=3. Der Graph wird hier einfach "normal" fortgesetzt. Was man im obigen Plot nicht sieht, ist, dass man hier ein "leeres" Kästchen einzeichnen muss, damit man zeigt, dass die Stelle 3 nicht zur Definitionsmenge dazugehört!
Bei x=-3 hingegen haben wir eine Polstelle, was im Graphen offensichtlich ist.

Abgesehen von dem Kästchen muss bei x=3 nichts gemacht werden. Bei x=-3 wird normal eine Untersuchung verlangt -> Liegt ein Vorzeichenwechsel vor oder nicht. Sprich haben wir eine Polstelle, die für beide Seiten zum Unendlich mit dem gleichen Vorzeichen strebt oder nicht. In unserem Beispiel haben wir einen Vorzeichenwechsel. Linksseitig streben wir nach -Unendlich, während wir für die rechte Seite nach +Unendlich streben (ich glaube ich habe nun verstanden was du mit "Verhalten gegen Unendlich" meinst^^).
Für das bestimmen zu welchem Unendlich wir uns hinbewegen, brauchen wir die von mir letztens angesprochene h-Methode.
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

Ops ich meinte natürlich hebbare und nichthebbare Definitionslücke nicht Nullstelle... sry dafür..
Und auch sry dafür das ich dich immer wiederhole... aber so schreib ich das auf wie ich das dann verstanden habe und man erkennt wo meine gedankenfehler liegen ... :/
Aber dann hab ich das ja richtig erkannt und verstanden.. Auch das wenn eine hebbare Definitionslücke vorliegt. ich dann einfach an der Stelle ein Kreis in den Graphen male und gut ist smile

Soweit so gut... bei deiner Funktion ist ja die -3 nicht im Zähler vertreten also Polstelle...
Nun müssen wir das ganze untersuchen... das mit der h-mthode.. iich hab hier son video gefunden aber das ist glaube ich nicht das was ich suche oder ist es das doch weil da wird nichts davon gesagt wie es ist wenn man von rechts kommt bzw von links und so..
H-Methode

wenn du das vielleicht einmal an einem leichten beispiel erklären könntest würde ich dir die Füße küssen ...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub meine Füße sind da nicht so geeignet Big Laugh .

Ich weiß aber nicht, was du gegen das Video hast. Ich hab nur mal durch die ersten 3 Minuten gezappt und finde es recht gut.

Unser Beispiel ist genau andersrum...hör dir das Video (bis 3:15) noch 2-3 mal an und versuche zu verstehen. Dann versuche dich bei unserer Aufgabe an .
Ich schau dir über die Schulter und korrigiere im Bedarfsfall Augenzwinkern .

Mach dir dabei klar, dass wir unsere Funktion an der Stelle x=3 untersuchen.
x=3 selbst dürfen wir bei unsere Funktion nicht einsetzen, da wir sonst den Fall 0/0 hätten.
Also nehmen wir eine Stelle die ein ganzganz klein wenig rechts davon ist. Diese "ganzganz klein wenig" bezeichnen wir als h, welches ja gegen 0 streben soll Augenzwinkern . Damit wissen wir dann um das Verhalten der Funktion ein ganz klein wenig rechts von der Stelle x=3 und können eine Aussage treffen.
btw. +h für "a bissle" rechts
und -h für "a bissle" links

Augenzwinkern
 
 
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mach dir dabei klar, dass wir unsere Funktion an der Stelle x=3 untersuchen. x=3 selbst dürfen wir bei unsere Funktion nicht einsetzen, da wir sonst den Fall 0/0 hätten. Also nehmen wir eine Stelle die ein ganzganz klein wenig rechts davon ist. Diese "ganzganz klein wenig" bezeichnen wir als h, welches ja gegen 0 streben soll . Damit wissen wir dann um das Verhalten der Funktion ein ganz klein wenig rechts von der Stelle x=3 und können eine Aussage treffen. btw. +h für "a bissle" rechts und -h für "a bissle" links



Erleuchtung!!!!
ich probier das jetzt mal ein unserer kannst du dir dann nochmal eine überlegen und ich rechne dir die auch vor ? Big Laugh
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Können wir machen Augenzwinkern .
Dann rechne mal an unserer.


Edit: Lass dir Zeit. Ich bin ne Weile weg. Einkaufen und so.
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

Soo zuerst haben wir ja unsere Funktion
nun lassen wir h gegen 0 laufen das schreiben wir dann so auf

nun ersetzen wir das x mit 3-h da +3 ja unsere nullstelle ist smile

Klammern werden ausmultipliziert.

Es kann gekürzt werden..

und nun wird h ausgeklammert

und nun kann h weggekürzt werden..


übrig bleibt
und da wir h gegen null laufen lassen ist unser funktions wert 6

was uns das aber sagt weiß ich grad nicht haha :P

so jetzt wenn wir uns von links nähern.
ich steige hier mal direkt beim einsetzen ein

nun ausmultiplizieren

gekürtzt

und ausgeklammert

h kann gekürtzt werden
heraus kommt

h läuft gegen null heißt unser wert für den linken bereich ist -6
ist da so richtig ?

und was bringen uns nun diese beiden werte ??
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch gar nicht mal so schlecht Freude .


Zitat:

Das ist zwar nicht falsch, aber recht unsinnig. Du kannst den Limes auch weglassen, da im Term kein h vorhanden ist Augenzwinkern .

Zitat:
nun ersetzen wir das x mit 3+h da +3 ja unsere nullstelle ist

Ein Schreibfehler, wie ich vermute? Wir untersuchen die Stelle rechts von x=3, also 3+h.

Zitat:

und nun kann h weggekürzt werden..


Bis zur letzten Zeile sehr schön vollens gerechnet. Aber wenn wir h kürzen, bleibt doch eine 1 im Zähler.
Denn vorher stand da 1*h und h wird gekürzt (die 1 ist meist unsichtbar, aber da!).

Richtig also:
Und damit unser Funktionswert .

Zum zweiten Teil:
Zitat:

nun ausmultiplizieren

Vorsicht...wo ist das Minus hin?
Im Zähler haben wir doch (3-h)-3=3-h-3=-h Augenzwinkern .

Am Ende also:



Und damit unser Funktionswert ebenfalls .

Das bedeutet nun, dass wir, wenn wir zur Stelle x=3 gehen, ein ganzganz klein wenig rechts und auch links davon den Funktionswert y=1/6 finden. Damit musst du deinen Kreis für die Definitionslücke bei x=3 für y=1/6 setzen.



Im Schaubild kannst du das abschätzen. Wir haben tatsächlich den Funktionswert y=1/6.
Übrigens kannst du auch bei x=3 einen Bruch im Graphen finden! Die Definitionslücke Augenzwinkern .
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

okay so weit das dann verstanden... nur 2-3 fragen dazu smile
1. Ist das nicht eine Polstelle und keine Definitionslücke?
2. was würde geschehen wäre einmal und einmal \frac {1}{6}[/latex] wie würde das dann aussehen oder was bewirkt das ?
und wie geschiet das jetzt das diese Graphen explodieren. müsste das nicht eigentlich bei diesem beispiel passieren ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

1. Nein, das ist eine hebbare Definitionslücke. Deswegen sieht man die Lücke auch nicht, sondern muss sie mit deinem Kreis kenntlich machen.
2. Sowas gibt es für gebrochenrationale Funktionen nicht.
Die sehen immer aus wie bei uns...entweder hebbar (und man muss es mit nem Kreis kenntlich machen),
oder als Polstelle wie bei x=-3.


Bevor ich breit erkläre wie das aussieht -> Nutze die h-Methode um die Umgebung von x=-3 zu untersuchen Augenzwinkern .
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

ich rechne das mal eben hier auf dem zettel aus okay das ist mir zu viel "programmiere arbeit" ich erzähle dir dann die ergebnisse okay ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das richtige rauskriegst ist das ok^^.

Kannst ja vorsichtshalber mal sauber schreiben. Dann könnte man es im Bedarfsfall auch hochladen Augenzwinkern .
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich versuchs haha
mal eben zur versicherung wir haben doch gerade die definitionslücke unterscuht und nicht wie ich gedacht habe die Polstelle bei -3 das machen wir jetzt oder ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Die Polstelle zeigt ja ein Verhalten ins Unendliche. In welches Unendlich wir uns begeben untersuchst du nun. Dabei untersuchst du das einmal von links und einmal von rechts Augenzwinkern .
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich komme nicht weiter ....
[attach]28720[/attach]
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist etwas arg klein, aber wenn ich es richtig sehe, bist du nun bei

angekommen.
Kürzen wir noch die -6, sind wir bei .

Was passiert mit dem Ausdruck, wenn h gegen 0 geht? Augenzwinkern
(Soweit ists richtig Freude )
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

darf ich einfach so bei einem produkt weg kürzen ??

und wenn h gegen 0 geht (was passiert da eig genau oder ist das dann einfach mal soo ) dann haben wir was das heißt weiß ich net...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
darf ich einfach so bei einem produkt weg kürzen ??

Faktoren dürfen gekürzt werden. Summanden nicht! Augenzwinkern

Nein, wir haben nicht . Das ist nämlich verboten! Durch 0 darf nicht geteilt werden.
Wir haben etwas nahe 0.

Nimm mal deinen Taschenrechner und gib für h=0,0001 und h=0,00000001 ein.
Wonach strebt also unser obiger Ausdruck? Augenzwinkern
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

die zahl ist riesengroß und positiv... heißt der graph explodiert nach oben oder ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es...er strebt nach unendlich.

Überprüfen wir das doch gleich mal im Schaubild.



Wir gehen nun an die Stelle x=-3. Da wir ein +h gewählt hatten, schauen wir nun auf die rechte Seite der Stelle.
Und wo befinden wir uns da? Sehr weit oben -> Unsere Berechnung mit dem Streben in die positive Unendlichkeit wird also passen.

Berechne das nun auch für die linke Seite.
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

okay mach ich kurz aber schau mal mein graphen dafür an

http://www.matheboard.de/plotter.php?f=x...%5E2-9&x=&y=&t=
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Da fehlt die Klammersetzung.
Du musst es als (x-3)/(x^2-9) eingeben.
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

und ist da auch glaube ich ein fehler unterlaufen
im nenner steht ja und ich hab im nächsten schritt das vergessen und somit einfach das h wegegekürzt obwohl da ja noch eins wäre... schlimm ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ich befürchte ich kann dir nicht folgen.
Du solltest eigentlich überhaupt kein -6h im Nenner haben^^.
Das sollte positiv werden.
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

oh ich vergaß zu erwähnen bei unserer rechnung eben auch die auf dem bild da kann mans sogar schwer erkennen haha
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, mit deinen zusätzlichen Worten kann ichs aufm Bild nun erkennen.

Ja, das geht nicht. Da ist falsch gekürzt worden. Nur Faktoren kann man kürzen.



Das gleiche nun für -3-h bitte Augenzwinkern .
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

okay aber wie kommts das man -6 miteinadern kürzen kann ?
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

und bei mir kommt bei -3 auch nachher heraus
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SgtHater
okay aber wie kommts das man -6 miteinadern kürzen kann ?


Kann man nicht. Beachte, dass wir den Zähler als Faktor betrachten können: -6+h=1*(-6+h).
Dann können wir beide Klammern (also Faktoren) kürzen.

Nein, für -3-h kommt was anderes raus.
Unser erster Schritt lautet:



Mach mal weiter. Mir reichts auch vorerst, wenn du den Binomi im Nenner auflöst Augenzwinkern .
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut, das ist richtig.



Mach vollens fertig Augenzwinkern .
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

=
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte es schon mehrfach formuliert: Summanden dürfen nicht gekürzt werden.
Dieses Tabu musst du dir unbedingt einprägen.
Einen Merkspruch dazu: Summen kürzen nur die Dum**n.

Probiere es erneut. Nimm dabei deinen ersten Nenner und meinen letzten Ausdruck zur Hilfe.
Dann sollte es leicht gehen.
Zusatztipp: -(...)=-1*(...)
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

Equester Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es Freude .

(Es braucht dazu natürlich den Limes, den wir weggelassen haben)
Wenn wir vorher 1/h hatten und gesagt haben, dieser Ausdruck strebt gegen unendlich, dann gilt für diesen, dass er gegen -unendlich strebt.

Das können wir wieder im Schaubild überprüfen.

SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

hahahaha dann hab ich das ja verstanden haha .... oh mann du bist ein Gott !!!!! nur mal eben nochmal durchlesen zum festigen Big Laugh dann fehlen nur noch asymptoten und ich bin durch mit diesem Thema !!! gibs da irgendwas zu beachten ? außer

Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so ist die Gerade y=0 (also die x-Achse) waagrechte Asymptote.

Ist der Zählergrad größer als der Nennergrad, so gibt es keine waagrechte Asymptote

Ist der Zählergrad genau eins größer als der Nennergrad, so gibt es eine schiefe Asymptote. Diese bekommt man durch Polynomdivision.

Ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad, so gibt es eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung wobei a die Zahl vor dem x mit der größten Potenz im Zähler ist, sowie b die Zahl vor dem x mit der größten Potenz im Nenner.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Freut mich, wenn ich helfen konnte smile .
Dir sollte aber bewusst sein, dass das nur ein kleiner Einblick ist.
Man kann da noch den ein oder anderen Trick anbringen um sich das Leben zu erleichtern etc.

Zu den Asymptoten hast du eigentlich alles wichtige gesagt.
Beachte aber, dass es auch senkrechte Asymptoten gibt. Dies findet man immer bei Polstellen (also nicht bei hebbaren Definitionslücken).
SgtHater Auf diesen Beitrag antworten »

Ist der Zählergrad größer als der Nennergrad, so gibt es keine waagrechte Asymptote

heißt das es überhaupt keine asymptote gibt oder ?
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