Extremwertaufgaben: Zylinder in (Halb-)Kugel |
| 25.02.2013, 18:20 | demidrollka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremwertaufgaben: Zylinder in (Halb-)Kugel Hey, ich übe gerade fürdie kommende Mathearbeit und bin auf einige Extremwert-Aufgaben gestoßen, bei denen ich dir Nebenbedingung nicht aufstellen kann. Zwar gibt es die Aufgaben schon im Internet, allerding ohne NB. Ich hofe, ihr könnt mir helfen. Aufgabe 1 Einer Halbkugel mit dem Radius 20 cm soll ein Zylinder mit max. Volumen eingeschrieben werden. Wie soll ich mir das vorstellen? Ziefunktion: V(r;h)=pi*r^2*h Nebenbedingung: ? Aufgabe 2 Einem Halbkreis mit dem Radius 30 cm soll ein gleichschnekliges Dreickeck eingeschrieben werden, dessen Spitze mit dem Halbierungspunkt des Durchmessers zusammenfällt. Welche Maße muss das Dreieck haben, damit seine Fläche max. groß ist. Ich kann mir nicht darunter vorstellen. Wie sieht sowas aus? Zielfunktion A(g;h)=g*h/2 Nebenbedingung: ? Aufgabe 3 In eine Kugel mit dem Radius 18 cm soll ein Zylinder mit maximalen Volumen eingeschrieben werde.. Zielfunktion V(r;h)=pi*r^2*h Nebenbedingung: ? Meine Ideen: 1. Ziefunktion: V(r;h)=pi*r^2*h 2. Zielfunktion: A(g;h)=g*h/2 3. Zielfunktion V(r;h)=pi*r^2*h |
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| 25.02.2013, 18:30 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwert-Aufgabe 2012 Zur ersten Aufgabe: Mache dir unbedingt eine Skizze. Überlege dann, ob du den Satz des Pythagoras sinnvoll anwenden kannst. edit: Hier eine Zeichnung zur zweiten Aufgabe: [attach]28718[/attach] 
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| 25.02.2013, 19:07 | demidrollka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also die erste Aufgabe habe ich gelöst. Die Nebenbedingung habe ich mit dem Satz der Pythagoras geköst. Bei der dritten Aufgabe, weiß ich nicht genau, wo der Unterscheid zwischen der Bedingung für eine Halbkugel und Kugel ist. |
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| 25.02.2013, 19:38 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Unterschied ist, dass jetzt h/2 mit dem Pythagoras bestimmt wird. 
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| 25.02.2013, 20:07 | demidrollka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok. Das mit der halben Höhe habe ich verstanden und ausgerechnet. Schon mal großen Dank
So die Aufgabe mit dem Halbkreis und Dreieck habe ich jetz auch. Meine Lösung: g=21,21 h=21,21 max. Volumen =225 Ist das soweitrichtig? Liebe Grüße |
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| 25.02.2013, 20:27 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwert-Aufgabe 2012 Ja, ich kann dein Ergebnis bestätigen. 
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| 26.02.2013, 10:55 | demidrollka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Suerp
Ich danke euch.Ich habe diese Aufgabe gerechnet: In einen Kreis mit dem Radius 8 cm soll ein Rechteck eingezeichnet werden, das a) einen möglichst großen Flächenihalt hat und b) einen möglichst großen Umfang besitzt. Zu a: ZF: a*b max NB: a=Wurzel aus 8^2-b^2 Lösung: b=5,66 a=5,65 Zu b: ZF: 2a+2b NB: ? Hier komme ich nicht weiter |
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| 26.02.2013, 11:11 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu a) Hier hast du vermutlich Radius und Durchmesser verwechselt.
zu b) Die NB ist die gleiche wie bei a) Beachte hier aber meinen Kommentar zu a)
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| 26.02.2013, 16:47 | demidrollka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie meinst du das? heißt die Bedingung anders? Das einzige,was ich mir noch vorstellen könnte, wäre a=Wurzel aus 8-b^2 Ich verstehe das irgendwie nicht
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| 26.02.2013, 18:01 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die NBs sind jeweils gleich, weil du die gleichen Verhältnisse im Kreis hast: Das Rechteck muss jeweils so konstruiert werden, dass die Ecken auf der Kreislinie liegen. Somit ist die Diagonale jeweils 16 cm lang und nicht 8 cm, wie in deiner Rechnung. Das habe ich mit meinem Kommentar zu a) gemeint.
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| 26.02.2013, 18:15 | demidrollka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok. Also wäre es dann die Wurzel aus 16 und nicht 8 ?
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| 26.02.2013, 19:08 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Etwas genauer solltest du schon werden... 
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| 26.02.2013, 19:57 | demidrollka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also Die Nebenbedingung wäre dann: a=Wurzel aus 16^2-b^2 Dann würe dich den Umfang wie folgt berechnen: 2b+2*Wurzel aus 16^2-b^2 Allerdings komme ich bei dieser Rechnung dann auf ein Ergebnis von b=4. Ist das richtig? Bevor ich zur ersten Ableitung komme steht bei mit -2b^2+1024 |
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| 26.02.2013, 20:01 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, U(b) = 2b + 2*Wurzel aus (16² - b²) bzw. U(b) = 2b + Wurzel aus (1024 - 4b²) Wie veränderst du das noch vor dem Ableiten?
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| 26.02.2013, 20:10 | demidrolka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es sah bei mir so aus: 2b+2*Wurzel aus 256-b^2 dann habe ich di2 Wurzel aufgelöst(quadriert?) und dies bekommen: 2b^2+4*(256-b^2) 2b^2+(1024-4b^2) -2b^2+1024 Erste Ableitung -4b notwendige Bedingung -4b=0 b=4 |
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| 26.02.2013, 20:15 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, man kann zwar quadrieren, aber das ist ungewöhnlich in der Schulmathe. Leider hast du nicht richtig quadriert, du hättest nämlich an die Binomis denken müssen: [2b + Wurzel aus (1024 - 4b²)]² = (2b)² + 2b·Wurzel aus (1024 - 4b²) + 1024 - 4b² Bringt dich also nicht wirklich weiter. Ich würde eher ableiten. U(b) = 2b + Wurzel aus (1024 - 4b²) ist nicht allzu schwierig abzuleiten.
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| 26.02.2013, 20:24 | demidrollka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm.. Ich habe keine Ahnung wie ich die Wurzel ableiten soll. Der Mathelehrer hat uns das so mit dem quadrieren gezeigt
Bräuchte Hilfe. Schreibe schon morgen und das ist die letze Aufgabe ander ich hänge
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| 26.02.2013, 20:36 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und jetzt die Wurzel mit der Kettenregel ableiten.
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| 26.02.2013, 20:40 | demidrollka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also diese Art und Weise kenne ich leider nicht 
Ich habe es nochmal mit der Binom Geschichte probiert und bin auf ein Ergebnis von b=11 gekommen. |
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| 26.02.2013, 20:46 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist richtig.
Vielleicht kommt dir das Ergebnis bekannt vor.
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