[Topologie] Fundamentalgruppe des Kreises

25.02.2013, 18:54	dastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
[Topologie] Fundamentalgruppe des Kreises Hallo! Ich galube, ich stehe seit zwei Tagen völlig auf der Leitung bei der Fundamentalgruppe des Kreises $\begin{eqnarray} \pi_1(S^1) \end{eqnarray}$ , die ja bekanntlich isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist. Aber: warum ist eigentlich "unendlich" nicht Teil von $\begin{eqnarray} \pi_1(S^1) \end{eqnarray}$ ?? Soll heißen, warum ist der folgende "Weg", der sich unendlich oft um $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ dreht, kein Weg? $\begin{eqnarray} \varphi: [0,1] \rightarrow S^1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t \in [\frac{2^k-2}{2^k},\frac{2^k-1}{2^k}] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} \varphi(t) = exp(2^{k+1} t \pi i) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varphi(1)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist doch stetig, oder bin ich doof?? Ich meine, betrachtet man das Urbild einer offenen Teilmenge von $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ , dann ist das die Vereinigung abzählbar vieler offener Mengen, ergo offen Und damit ist es ein Weg, der sich unendlich oft um den Kreis dreht... Ich komm nicht auf den Fehler! Vielen Dank für jede Hilfe!
25.02.2013, 19:01	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Topologie] Fundamentalgruppe des Kreises ohne groß drüber nachzudenken würde ich sagen das ding ist nicht stetig in 1. lg
25.02.2013, 19:08	dastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Topologie] Fundamentalgruppe des Kreises Oh Mann! Ich habs! Manchmal ghilft es einfach, eine Frage laut zu stellen, dann kommt man sofort auf die Antwort. Für alle interessierten: obiges $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist natürlich NICHT stetig. Am einfachsten ist das zu sehen, wenn man sich das Urbild von $\begin{eqnarray} A = S^1 - \{-1\} \end{eqnarray}$ anschaut. Falls $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ stetig wäre, müsste $\begin{eqnarray} \varphi^{-1}(A) \end{eqnarray}$ offen sein. Das ist es aber nicht, denn es gibt eine Folge im Komplement $\begin{eqnarray} [0,1] - \varphi^{-1}(A) \end{eqnarray}$ , die einen Häufungspunkt in A hat, nämlich folgende: $\begin{eqnarray} x_k = \frac{2^k-1,5}{2^k} \end{eqnarray}$ hat $\begin{eqnarray} \varphi(x_k) = exp(2(2^k-1,5)\pi i) = exp(2^{k+1}\pi i - 3 \pi i) = exp (\pi i) = -1 \in S^1 - A \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} x_k = 1- \frac{3}{2^{k+1}} \rightarrow 1 \in \varphi^{-1}(A) \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} \varphi^{-1}(A) \end{eqnarray}$ nicht offen in $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$
25.02.2013, 19:10	dastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Topologie] Fundamentalgruppe des Kreises Danke, oh waises Brot! In dem Moment, wo ich den Beitrag gepostet hatte, ist es mir auch klargeworden... lg

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