Kurvenintegral Vektorwertige Funktion

25.02.2013, 19:25

Ingi

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Kurvenintegral Vektorwertige Funktion

Ich habe gerade folgende Aufgabe gerechnet bin mir bei der Lösung aber nicht sicher.

$\begin{eqnarray*} \vec{v}(\vec{r})=\begin{pmatrix} y+e^{x}\sin(z) \\ 2x \\ e^{x}cos(z) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Bestimmen Sie das Kurvenintegral längs der Strecke S von $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ (1,1, $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ) nach $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ (0,0, $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ )

Also mein erstes Integral sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} \int_S^{} \! (y+e^{x}*\sin(z)) dx + 2x dy + e^{x}*cos(z) dz \end{eqnarray*}$
Dann:
$\begin{eqnarray*} x(t)=t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t)=t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z(t)=0 \end{eqnarray*}$
Auf dem Intervall: $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dy=dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dz=0*dt \end{eqnarray*}$

Damit sieht das 2. Integral wie folgt aus: (ganz ausführlich!)
$\begin{eqnarray*} \int_0^{1} \! (t+e^{t}*\sin(0)) dt + 2t dt + e^{t}*cos(0) dz*0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int_0^{1} \! t*dt + 2t* dt=\int_0^{1} \! 3t*dt=(3/2)*1^2-(3/2)*0^2=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Ist es richtig so ? Könnt ihr da jeden Schritt nachvollziehen ? Danke schonmal für eure Hilfe Freude

Freude

26.02.2013, 11:23

Che Netzer

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RE: Kurvenintegral Vektorwertige Funktion
Die Parametrisierung der Kurve stimmt noch nicht.
Deine ginge von $\begin{eqnarray*} (0,0,0) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (1,1,0) \end{eqnarray*}$ , sie sollte aber von $\begin{eqnarray*} (1,1,\pi) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (0,0,\pi) \end{eqnarray*}$ gehen.

26.02.2013, 11:50

Ingi

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jaa an diesem Punkt war ich mir nicht sicher...

Wie wäre es denn richtig ?
Ich bin davon ausgegangen mann muss die Differenz nehmen.
Also in x-Richtung: 1
in y-Richtung: 1
und in z-Richtung: 0 (denn: pi-pi=0)

26.02.2013, 11:52

Che Netzer

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Was denn für eine Differenz? Wenn du $\begin{eqnarray*} P_1+t(P_2-P_1) \end{eqnarray*}$ meinst, wäre das die richtige Parametrisierung.

26.02.2013, 12:08

Ingi

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man soll ja von $\begin{eqnarray*} P_{1}(1,1,\pi) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} P_{2}(0,0,\pi) \end{eqnarray*}$
d.h.
bei x von 1 bis 0 = 1
bei y von 1 bis 0 = 1
bei z von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ = 0

So hab ich mir das gedacht. Ich war mir aber von anfang nicht sicher ob es so richtig ist aber ich wüste auch nicht wie man es sonst machen könnte.

26.02.2013, 12:10

Che Netzer

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Ich weiß gar nicht, was du da rechnest und was du mit Eins, Eins und Null dann überhaupt anfangen möchtest.

Hast du dir meine Parametrisierung $\begin{eqnarray*} P_1+t(P_2-P_1) \end{eqnarray*}$ mal angesehen?

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26.02.2013, 12:14

Ingi

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Ja hab ich mir angesehen. Nur ich weiß nicht genau was du damit meinst.

26.02.2013, 12:16

Che Netzer

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Das soll heißen, dass du $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix}=P_1+t(P_2-P_1) \end{eqnarray*}$ parametrisieren kannst.
Stell dazu mal eine explizite Form auf.

26.02.2013, 12:17

Ingi

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wenn ich das richtig sehe dann kommt da $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-t \\ 1-t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus

26.02.2013, 12:19

Che Netzer

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Die dritte Komponente stimmt noch nicht.

26.02.2013, 12:20

Ingi

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also in etwa dann so:
z.B.
anstatt so: $\begin{eqnarray*} x(t)=t \end{eqnarray*}$ besser so: $\begin{eqnarray*} x(t)=1-t \end{eqnarray*}$

26.02.2013, 12:21

Che Netzer

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Ja, $\begin{eqnarray*} x(t)=y(t)=1-t \end{eqnarray*}$ stimmt schon, nur $\begin{eqnarray*} z(t) \end{eqnarray*}$ solltest du nochmal berechnen.

26.02.2013, 12:22

Ingi

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ohh stimmt dann so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-t \\ 1-t \\ \pi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

26.02.2013, 12:23

Che Netzer

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Ja. Und mit der Parametrisierung kannst du nun das Integral ausrechnen.

26.02.2013, 12:28

Ingi

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Ich danke dir schon für die Hilfe Freude

Freude

aber wie mache ich das z.B jetzt mit $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} dx=1-dt \end{eqnarray*}$ ?

26.02.2013, 12:28

Ingi

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oder fällt die 1 weg ?

26.02.2013, 12:28

Che Netzer

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Nein, bilde mal $\begin{eqnarray*} \frac\dx{\dd t} \end{eqnarray*}$ .

Edit: Ja, die Eins fällt weg.

26.02.2013, 12:32

Ingi

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$\begin{eqnarray*} {dx}/{dt}=-1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} dx=-dt \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} dz=0 \end{eqnarray*}$

richtig ?

26.02.2013, 12:33

Che Netzer

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Genau.
Und jetzt musst du nur noch integrieren.

26.02.2013, 12:41

Ingi

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$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (t-1)dt +(t-2t)dt \,=1^2-3*1-0^2+3*0=-2 \end{eqnarray*}$

so müsste es stimmen oder ?

26.02.2013, 12:43

Che Netzer

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Was hast du denn da angestellt? verwirrt

verwirrt

26.02.2013, 12:46

Ingi

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von meinem Anfagspost das 1. Integral da hab ich alles ersetzt
also
dx=-dt
dy=-dt
dz=0

x=1-t
y=1-t
z=\pi

26.02.2013, 12:47

Ingi

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ohh monent ich hab meinen Fehler gefunden Hammer

Hammer

26.02.2013, 12:53

Ingi

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nee es kommt wieder das gleiche raus. ich habe vorhin anstatt $\begin{eqnarray*} z=\pi \end{eqnarray*}$ habe ich $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ genommen.

26.02.2013, 12:56

Ingi

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Zitat:

Original von Ingi
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (t-1)dt +(t-2t)dt \,=1^2-3*1-0^2+3*0=-2 \end{eqnarray*}$

so müsste es stimmen oder ?

und ich hab mich verschrieben es müsst sein:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (t-1)dt +(t-2)dt \,=1^2-3*1-0^2+3*0=-2 \end{eqnarray*}$

26.02.2013, 17:38

Che Netzer

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Und wie ist das $\begin{eqnarray*} t-2 \end{eqnarray*}$ zustande gekommen?

26.02.2013, 18:51

Ingi

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Aus der Ausgangsfunktion Fx=2x
Das x wird durch 1-t ersetzt : 2*(1-t) und dann mit -dt multipliziert also: t-2

So bin ich drauf gekommen

26.02.2013, 18:56

Ingi

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Zitat:

Original von Ingi

Zitat:

Original von Ingi
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (t-1)dt +(t-2t)dt \,=1^2-3*1-0^2+3*0=-2 \end{eqnarray*}$

so müsste es stimmen oder ?

und ich hab mich verschrieben es müsst sein:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (t-1)dt +(t-2)dt \,=1^2-3*1-0^2+3*0=-2 \end{eqnarray*}$

Mir fällt da hab ich noch was übersehen Hammer

Hammer

(t-1) wird auch mit -dt multipliziert also:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (1-t)dt +(t-2)dt \,=-(1/2)*1^2=-\frac {1}{2} \end{eqnarray*}$

26.02.2013, 19:21

Che Netzer

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Du willst mir doch nicht erzählen, dass $\begin{eqnarray*} 2(1-t)=2-t \end{eqnarray*}$ sei? geschockt

geschockt

Und inzwischen hast du $\begin{eqnarray*} 1-t \end{eqnarray*}$ gleich zweimal mit einem Minus versehen...

26.02.2013, 20:05

Ingi

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ohh man

Big Laugh

da kann man mal sehen was der Klausurstress mit einem macht... ich bin schon richtig matsche inner Brine

aber trozdem jetzt nochmal:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (t-1)dt +(2t-2)dt \,=\int_0^1 \! (3t-3)dt =-\frac {3} {2} \end{eqnarray*}$

26.02.2013, 20:49

Che Netzer

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Das sieht mir schon besser aus.

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