Integral

25.02.2013, 21:05

Chris00

Integral

Hallo zusammen

Aufgabe ist es, folgendes Integral zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{ \pi}^{\frac{3 \pi}{2}} \sqrt{1+cos(x)} \,\, dx \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} cos(x) = \cos \left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos \left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2} \right) = \cos^2 \left(\frac{x}{2} \right) - \sin^2 \left(\frac{x}{2} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{ \pi}^{\frac{3 \pi}{2}} \sqrt{1+\cos^2 \left(\frac{x}{2} \right) - \sin^2 \left(\frac{x}{2} \right)} \,\,dx \end{eqnarray*}$

Bis hierher läufts ja ganz gut smile

aber nun bin ich mir unsicher, was ich tun kann/muss.

$\begin{eqnarray*} \sin^2x + \cos^2x = 1 \end{eqnarray*}$ sieht dem ja recht ähnlich, allerdings stören die x/2 ... könnt ihr mir hier weiterhelfen ?

Gruß
Chris

25.02.2013, 21:21

Mulder

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RE: Intelgral

Zitat:

Original von Chris00
$\begin{eqnarray*} \sin^2x + \cos^2x = 1 \end{eqnarray*}$ sieht dem ja recht ähnlich, allerdings stören die x/2 ... könnt ihr mir hier weiterhelfen ?

Naja, analog gilt natürlich auch

$\begin{eqnarray*} \sin^2 \left ( \frac x 2 \right ) + \cos^2 \left ( \frac x 2 \right ) = 1 \end{eqnarray*}$

Die x/2 sind insofern nicht weiter problematisch. Augenzwinkern

25.02.2013, 21:26

Chris00

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$\begin{eqnarray*} \int \limits_{ \pi}^{\frac{3 \pi}{2}} \sqrt{1+\cos^2 \left(\frac{x}{2} \right) - \sin^2 \left(\frac{x}{2} \right)} \,\,dx \end{eqnarray*}$

Das wären dann aber 0 Augenzwinkern

25.02.2013, 21:28

Mulder

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Nö.

25.02.2013, 21:29

Chris00

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Es kann sein, dass du es nicht gesehen hast, aber ich hab aus dem + vor dem sin ein - gemacht smile

Da hab ich mich leider vertan...
Dann ergibt der Salat 0

Gruß
Chris

25.02.2013, 21:31

Mulder

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So, wie es da jetzt steht, ist es wohl richtig.

Und ich wiederhole mich: Das ergibt nicht 0.

25.02.2013, 21:46

Chris00

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Kann es sein, dass man es überhaupt nicht einsetzen kann? Ich kann hier klammern wie ich will, aber es wird nicht smile

$\begin{eqnarray*} - \sin^2x + \cos^2 x = -( \sin^2x - \cos^2 x) \end{eqnarray*}$

Gibt aber nicht 1

25.02.2013, 21:50

Mulder

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Eigentlich solltest du das schon schaffen können.

Sonst würde ich gerne sehen, was du da probiert hast.

Edit: Zu deinem Edit: Nein, das ergibt nicht 1. Warum sollte es auch?

25.02.2013, 21:51

Chris00

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Ahhhh ich verstehe...

einfach $\begin{eqnarray*} cos^2 x = 1 - sin^2 x \end{eqnarray*}$ ersetzen Augenzwinkern

25.02.2013, 22:01

Chris00

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$\begin{eqnarray*} \int \limits_{ \pi}^{\frac{3 \pi}{2}} \sqrt{1+\cos^2 \left(\frac{x}{2} \right) - (1- \cos^2 \left(\frac{x}{2} \right))} \,\,dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{ \pi}^{\frac{3 \pi}{2}} \sqrt{2} \cos \left(\frac{x}{2} \right) \,\,dx \end{eqnarray*}$

Rest geht so, besten dank smile

25.02.2013, 22:11

Mulder

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Nein. Auf das Vorzeichen achten. Die Wurzel wird nie negativ. Exakt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2 \cos^2 \left ( \frac x 2 \right ) } = \sqrt{2} \left \vert \cos \left ( \frac x 2 \right ) \right \vert \end{eqnarray*}$

Und nun schau dir mal an, wie cos(x/2) auf deinem Integrationsintervall verläuft. Löse dann den Betrag auf.

26.02.2013, 08:45

Chris00

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Betrag wäre nur der negative Teil, da die Kurve sich im 4. Quadranten befindet

Dann bekomme ich raus: $\begin{eqnarray*} 2(\sqrt{2}-1) \end{eqnarray*}$

Danke smile

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