Reduzibilität von Matrizen - Mit gerichtetem Graph klar, aber mit der Defininition?

26.02.2013, 10:57	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Reduzibilität von Matrizen - Mit gerichtetem Graph klar, aber mit der Defininition? Guten Tag, habe eine tolle Definition zur Reduzibilität von Matrizen, die ich aber leider nicht so ganz verstehe: $\begin{eqnarray} \text{Eine Matrix A} \in \mathbb R^{nxn}\ \text{heißt reduzibel, wenn gilt:}\\<br /> \text{Es gibt ein} \ N_1\ \text{und ein} \ N_2\ \text{mit jeweils} \neq\ \emptyset \subset \ \text{N=(1,..,n), sodass} \\<br /> 1. \ N_1\cap N_2\ = \ \emptyset \\<br /> 2. \ N_1\cup N_2=N \\<br /> 3. \ a_{ij}=0 \ \forall \ i\in N_1 \ und\ j\in N_2 \end{eqnarray}$ Kann mir das vielleicht jemand an einer kleinen Matrix, vll 2x2 kurz erklären? Danke
26.02.2013, 17:00	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reduzibilität von Matrizen - Mit gerichtetem Graph klar, aber mit der Defininition? hallo, dann gebe ich dir mal ein beispiel: nehmen wir eine 3x3-matrix, es ist also n=3, dann könnte man z.B. setzen N_1 ={2}, N_2={1,3}, dann hätte man nach der gegebenen vorschrift für a_ij =0 z.B die matrix $\begin{eqnarray} \begin {pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , hier müsste also die 2.zeile und die 1.und3.spalte nur aus nullen bestehen, und das wäre dann ein beispiel für eine reduzible matrix. gruss ollie3
26.02.2013, 19:14	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reduzibilität von Matrizen - Mit gerichtetem Graph klar, aber mit der Defininition? @Ollie: Es reicht doch die Einträge $\begin{eqnarray} a_{ij} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i\in N_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} j\in N_2 \end{eqnarray}$ zu betrachten, das heißt auch folgende Matrix ist reduzibel: $\begin{eqnarray} A=\begin {pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 8 & 0 \\ 4 & 5 &6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dein Beispiel ist nicht falsch, aber meiner Meinung nach irreführend, da ja zum Beispiel nicht die komplette zweite Zeile Null sein muss. Allgemein muss man bei Reduzibilität durch Permutation der Zeilen und Spalten erreichen können, dass $\begin{eqnarray} N_1=\{1,...,k\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N_2=\{k+1,...,n\} \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} 1\leq k\leq n-1 \end{eqnarray}$ ist. (Man kann sich überlegen, dass das Vertauschen die Reduzibilität nicht beeinflusst) Damit lässt sich die Matrix auf Block-Dreiecksgestalt bringen. Vgl. Wiki Im Beispiel ist $\begin{eqnarray} PAP^T=\begin {pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 3 & 1& 2 \\ 5 & 4 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} P=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gruß Reksilat

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