Konvergenz

26.02.2013, 16:21

App12

Konvergenz

Meine Frage:
Hallo ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n} *ln n} \end{eqnarray*}$

Ich soll die Reihe auf Konvergenz und absolut Konvergenz untersuchen.

Wie gehe ich hier vor?

Meine Ideen:
Keine

26.02.2013, 17:43

Che Netzer

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RE: Konvergenz
Benutze entweder $\begin{eqnarray*} \ln n\leq\sqrt n \end{eqnarray*}$ für genügend großes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ oder das Cauchysche Verdichtungskriterium.

26.02.2013, 17:51

App12

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Kannst du mir vielleicht das Cauchy Kriterium erklären . Ich konnte es bisher noch nicht anwenden da es für mich zu schwer war?
????

26.02.2013, 18:04

Che Netzer

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Also habt ihr das schon besprochen und dürft es benutzen?

Wenn ja: Schreibe die Reihe nochmal ab, ersetze dabei jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ und multipliziere ein $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ dazu, d.h. schreibe $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ in den Zähler.

26.02.2013, 18:10

App12

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Ja wir hatten es kurz besprochen .

So?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{2^n}{\sqrt{2^n}*ln*2^n } \end{eqnarray*}$

Aber kannst du mir erklären warum man da 2^n einsetzen muss ?

Macht man das immer so bei Cauchy?

26.02.2013, 18:20

Che Netzer

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Das ist nunmal die Aussage des Cauchyschen Verdichtungskriteriums, das kannst du dir auch auf Wikipedia durchlesen.
Die Idee, falls Interesse besteht: Bei monotonen Folgen bildet man Blöcke der Länge $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ , deren Folgenglieder man jeweils durch das größte/kleinste im Block abschätzen kann.

Aber ja, die neue Reihe stimmt so. Zumindest, wenn du $\begin{eqnarray*} \ln2^n \end{eqnarray*}$ statt " $\begin{eqnarray*} ln*2^n \end{eqnarray*}$ " meinst – eigentlich könnte man die Reihe jetzt bei Eins starten lassen, das spielt aber keine Rolle.

Kannst du nun die neue Reihe auf Konvergenz untersuchen?

26.02.2013, 18:23

App12

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WOher weiss ich denn wo ich dieses Kriterium benutzen kann?
Nur der interesse halber.
ABer ok .

Kann ich jetzt einfach dass quotientenkriterium anwenden?

26.02.2013, 18:25

Che Netzer

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Das Kriterium kannst du immer anwenden, wenn die Summanden eine monotone Folge bilden – das zu zeigen, dürfte hier nicht der zentrale Punkt sein.

Und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{\sqrt{2^n}\ln2^n} \end{eqnarray*}$ kannst du viel einfacher behandeln, da brauchst du kein Quotientenkriterium.
Kürze und benutze ein Logarithmengesetz.

26.02.2013, 18:33

App12

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{2^n}*ln*1 } \end{eqnarray*}$

Kann man das so kürzen?

26.02.2013, 19:27

Che Netzer

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Nein, du rechnest ja hoffentlich auch nicht $\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{f(2^n)}=\frac1{f(1)} \end{eqnarray*}$ für beliebige Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und entsprechend ist $\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{\ln2^n}=\frac{2^n}{\ln(2^n)}\neq\frac1{\ln1} \end{eqnarray*}$ .

Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} \ln1=0 \end{eqnarray*}$ , was nicht im Nenner stehen darf.

26.02.2013, 19:39

App12

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Das problem ist ich weiss nicht was die wurzel aus 2^n ist?

Oder was soll ich sonst kürzen?

26.02.2013, 19:40

Che Netzer

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Probier es mal mit $\begin{eqnarray*} 2^n=\sqrt{2^n}\sqrt{2^n} \end{eqnarray*}$ .

26.02.2013, 19:44

App12

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Aber bei mir ist doch nur eine Wurzel dabei Che?

Was mache ich jetzt?

26.02.2013, 19:55

Che Netzer

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Hä? Was ist das Problem?

26.02.2013, 20:03

App12

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Zitat:

Original von App12
Ja wir hatten es kurz besprochen .

So?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{2^n}{\sqrt{2^n}*ln*2^n } \end{eqnarray*}$

Aber kannst du mir erklären warum man da 2^n einsetzen muss ?

Macht man das immer so bei Cauchy?

Hier ist doch nur eine Wurzel im nenner oder nicht?

WIe soll ich dann dein gesetz anwenden?

26.02.2013, 20:48

Che Netzer

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Du kannst es benutzen, um den Zähler umzuschreiben.

26.02.2013, 20:53

App12

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Ich versteh nicht wie mache ich das jetzt genau?

26.02.2013, 20:55

Che Netzer

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Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, wo das Problem liegt.
Ich habe dir $\begin{eqnarray*} 2^n=\sqrt{2^n}\sqrt{2^n} \end{eqnarray*}$ gesagt (das dürfte nachvollziehbar sein).
Und diese Formel solltest du benutzen, um den Zähler $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ anders zu schreiben.

26.02.2013, 22:22

App12

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{\sqrt{2^n} }{ln 2^n} \end{eqnarray*}$

Dann bleibt das übrig oder?

26.02.2013, 22:29

Che Netzer

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Ja, genau.
Und jetzt kannst du im Nenner ein Logarithmengesetz anwenden.

26.02.2013, 22:45

App21

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Nenner muss das stehen oder:

n*ln 2. ????

26.02.2013, 22:47

Che Netzer

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Stimmt.
Und jetzt wende das notwendige bzw. Trivialkriterium an.

26.02.2013, 22:52

App21

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{\sqrt{2^n} }{n*ln2} \end{eqnarray*}$

Oh man was muss ich jetzt genau bei diesem Kriteriummachen?

26.02.2013, 23:01

Che Netzer

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Das ist ziemlich eindeutig.
Kannst du denn dessen Aussage wiedergeben?

26.02.2013, 23:07

App12

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Diese Reihe geht gegen 0 also konvergiert sie?

26.02.2013, 23:08

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Das klingt nicht wie die allgemeine Aussage eines Konvergenzkriteriums.

Und woher kommt die Behauptung, dass die Reihe gegen Null geht?

26.02.2013, 23:28

App12

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Einfach ne Vermutung oder Sites wieder falsch?

26.02.2013, 23:30

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn "Sites" bedeuten?

Und mit wilden Vermutungen kommst du nicht weit.
Also nochmal: Wie lautet denn die Aussage des notwendigen Kriteriums?

26.02.2013, 23:43

App25

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Die Reihe muss eine nullfolge sein dann konvergiert sie?

26.02.2013, 23:52

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist leider Blödsinn.
Nein, die Summanden müssen eine Nullfolge bilden, wenn die Reihe konvergieren soll.

Ist das hier der Fall?

27.02.2013, 00:16

App21

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Was mache ich also?

27.02.2013, 00:20

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zeigen, dass die Summanden tatsächlich keine Nullfolge bilden, denn dann hast du die Divergenz der Reihe nachgewiesen.

27.02.2013, 09:44

App21

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie zeige ich das?

27.02.2013, 10:37

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

@App21
Machst du eigentlich auch irgendwas selber? Fast alles hat bisher Che gerechnet.

27.02.2013, 11:01

Mystic

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Zitat:

Original von RavenOnJ
@App21
Machst du eigentlich auch irgendwas selber? Fast alles hat bisher Che gerechnet.

Naja, da verlangst du aber ein bißchen viel... Tatsächlich scheint es so zu sein, dass er sich nicht einmal seinen Namen merken kann, also ob er App12, App25 oder doch App21 heißt... unglücklich

Edit: Um auch noch was zum Thema zu sagen, man könnte hier auch die - nach dem Integralkriterium - divergente Minorante

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac 1{n \ln n} \end{eqnarray*}$

betrachten...

27.02.2013, 11:07

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

@Mystic

Das war mir noch gar nicht aufgefallen. Auf alle Fälle gehen mir diese unregistrierten Besucher, die im Wesentlichen Einzeiler ohne Inhalt produzieren gehörig auf den Geist. Aber klar, irgendwo sitzen und das Smartphone betippen ist schon arg mühsam. Da kann man sich nicht auch noch mit Inhalten beschäftigen.

27.02.2013, 11:15

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mystic
Edit: Um auch noch was zum Thema zu sagen, man könnte hier auch die - nach dem Integralkriterium - divergente Minorante

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac 1{n \ln n} \end{eqnarray*}$

betrachten...

Ja, ich hatte anfangs sogar die Minorante $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac1n \end{eqnarray*}$ vorgeschlagen, aber da hat sich der Fragesteller für das Verdichtungskriterium entschieden...

Aber immerhin hat er noch $\begin{eqnarray*} \ln2^n=n\ln2 \end{eqnarray*}$ selbst gerechnet geschockt

27.02.2013, 11:30

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Che Netzer
Ja, ich hatte anfangs sogar die Minorante $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac1n \end{eqnarray*}$ vorgeschlagen, aber da hat sich der Fragesteller für das Verdichtungskriterium entschieden...

Das hattest du allerdings so um die Ecke vorgeschlagen, dass er das vermutlich gar nicht bemerkt hat. Augenzwinkern

Da hätte man ja einerseits wissen müssen, dass es reicht, eine Minorante zu untersuchen, und andererseits hätte einem dann klar sein müssen, dass $\begin{eqnarray*} \ln(n)< \sqrt{n}\Rightarrow\sqrt{n}\ln(n) <\sqrt{n}\cdot\sqrt{n} = n \end{eqnarray*}$ ab einem bestimmten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt und die Implikation $\begin{eqnarray*} a<b\Rightarrow \frac 1 a > \frac 1 b \end{eqnarray*}$ zu einer Minorante führt. Dann müsste einem natürlich noch die Divergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac1n \end{eqnarray*}$ bekannt sein. Vermutlich war das Alles zu viel verlangt.

27.02.2013, 12:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von RavenOnJ
@Mystic
Big Laugh

Vielleicht sollte man es doch mal einführen, daß Fragesteller im Hochschulbereich folgende Fragen beantworten:

1. Welchen Abschluß, der zur allgemeinen Hochschulreife führt, habe ich?
2. Welche Note in Mathematik habe ich erreicht?
3. Welches Studium habe ich aufgenommen, für das unbedingt Mathematik benötigt wird?

27.02.2013, 12:18

Math1986

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Hinweis:
An Nutzer App: Hier wird eine gewisse Mitarbeit deinerseits und etwas mehr Eigeninitiative vorausgesetzt - insbesondere im Hochschulbereich. Siehe hierzu auch Prinzip "Mathe online verstehen!"

An alle Helfer: Bitte berücksichtigt dies und wartet auf sinnvolle Ansätze des Themenstarters. Sollte euch die Einstellung des Themenstarters zu sehr nerven, dann antwortet einfach gar nicht.

Bitte zum Thema zurückkommen bzw auf sinnvolle Ansätze des The,menstarters warten.

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