Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen Verständnissproblem

26.02.2013, 16:36

gajamu

Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen Verständnissproblem

Meine Frage:
Hi zusammen,
Ich habe ein Verständnissproblem bei folgendem Satz:

" Verschwinde $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} C_{n}z_{k}^{n} \end{eqnarray*}$ für alle Punkte $\begin{eqnarray*} z_{k} \neq 0 \end{eqnarray*}$ einer Nullfolge, so verschwinden alle Koeffizienten $\begin{eqnarray*} C_{n} \end{eqnarray*}$ "

Ich verstehe nicht was das mit der Eindeutigkeit einer Potenzreihe zu tun hat.

Meine Ideen:
Im grunde sagt der Satz, dass wenn die Potz.Reihe eine Nullfolge ist, dass dann alle $\begin{eqnarray*} C_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ sind sofern z ungleich null ist.
Dies würde aber doch dann auch bedeuten, dass die gesammte Reihe Null ist?? verwirrt

26.02.2013, 17:40

Che Netzer

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RE: Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen Verständnissproblem

Zitat:

Original von gajamu
Im grunde sagt der Satz, dass wenn die Potz.Reihe eine Nullfolge ist, dass dann alle $\begin{eqnarray*} C_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ sind sofern z ungleich null ist.

Das hört sich seltsam an.
Hier mal eine Umformulierung:
Es sei $\begin{eqnarray*} z\mapsto\sum_{n=0}^\infty C_nz^n=:f(z) \end{eqnarray*}$ gegeben. Gibt es dann eine Folge $\begin{eqnarray*} 0\neq z_k\to0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z_k)=\sum_{n=0}^\infty C_nz_k^n=0 \end{eqnarray*}$ (für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ), dann ist $\begin{eqnarray*} C_n=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$ .

26.02.2013, 18:14

gajamu

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RE: Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen Verständnissproblem
Hi,
danke für die antwort, leider bin ich noch immer etwas verwirrt.
also $\begin{eqnarray*} z_{k} \end{eqnarray*}$ stellt eine Nullfolge dar, das hab ich nun kapiert.

Was soll dann aber $\begin{eqnarray*} z_{k}^{n} \end{eqnarray*}$ sein? nimmt man da dann die einzelnen Folgenglieder hoch n, oder die gesamte Folge?

so long
gajamu

26.02.2013, 18:21

Che Netzer

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RE: Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen Verständnissproblem
Naja, um ganz genau zu sein: $\begin{eqnarray*} (z_k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist die Nollfolge.
Und jedes einzelne Folgenglied $\begin{eqnarray*} z_k\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ kann man dann potenzieren und in die Reihe einsetzen.

26.02.2013, 18:28

gajamu

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RE: Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen Verständnissproblem
Hi,
d.h wenn ich sowas berechenen wollte müsste ich
$\begin{eqnarray*} z_{1}^{0}+ z_{1}^{1}+....+ z_{1}^{n}+ z_{2}^{0}+ z_{2}^{1}+...... \end{eqnarray*}$
rechen?

Und was hat das alles dann mit der Eindeutigkeit von der Potenzreihe zu tun? Im Satz steht ja dass die Reihe dann Null ist. Aber es gibt ja Reihen ungleich null, die sind dann nicht eindeutig? oder versteh ich da was Falsch?

so long
gajamu

26.02.2013, 19:24

Che Netzer

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RE: Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen Verständnissproblem

Zitat:

Original von gajamu
Hi,
d.h wenn ich sowas berechenen wollte müsste ich
$\begin{eqnarray*} z_{1}^{0}+ z_{1}^{1}+....+ z_{1}^{n}+ z_{2}^{0}+ z_{2}^{1}+...... \end{eqnarray*}$
rechen?

Nein, die Voraussetzung im Satz ist, dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty C_nz_1^n=C_0z_1^0+C_1z_1^1+C_2z_1^2+\dotsb=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty C_nz_2^n=0 \end{eqnarray*}$
usw.
D.h. für jedes beliebige Glied $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ der Nullfolge $\begin{eqnarray*} (z_k)_k \end{eqnarray*}$ soll $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty C_nz_k^n=0 \end{eqnarray*}$ gelten.

Wenn das gilt, d.h. wenn alle Glieder der Nullfolge auch "Nullstellen der Potenzreihe" sind, dann gilt $\begin{eqnarray*} 0=C_0=C_1=\dotso \end{eqnarray*}$ .

27.02.2013, 14:59

gajamu

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RE: Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen Verständnissproblem
Hi,

Danke dir Che, ich denke nun hab ich es verstanden.

so long
gajamu

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