injektiv, sujektiv, bijektiv

26.02.2013, 17:11

Sandra93

injektiv, sujektiv, bijektiv

Meine Frage:
Hey ich habe mal eine allgemeine Verständnisfrage.
Vielleicht habe ich es auch schon verstanden, nur möchte ich die grundlegenden Dinge ganz genau wissen, bevor ich mich an schwere Aufgaben ranmache.

Meine Ideen:
Also hier zu meiner Frage:
Ih möchte wissen, ob ich die Begriffe richtig verstanden habe:

1) Injektiv:

Es ist laut Skript folgendermaßen definiert:

wenn für alle x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A aus f(x) = f(y) schon x = y folgt.

Wie ist das genau zu verstehen?
Habe shon auf mehreren Seiten nachgeschaut und meine es so verstanden zu haben.
Für jedes X gibt es höchstens ein Y.
Sprich wenn ich eine Funktion habe, dann wird jeder X wert einem unterschiedlichen Y-Wert zugeordnet.
Das kann natürlich bedeuten das manchen Y-werten keine X-werte zugeordnet werden. Ist ja aber nicht schlimm, da die Definition sagt, dass jeder X-Wert einem Y-Wert zugeordnet wird.

Ist das richtig?
Problem hierbei ist, dass als Beispiel angegeben wurde

f(x) = sinx

Nehmen wir mal an x1 = 90 und x2 = 450 ; dann kommt bei beidem der gleiche Wert raus...

Habe eben nochmal in der Definition nachgeschaut und da heißt es:
Jedes Bild hat höchstens ein Urbild.
Das Urbild hatte ich mit dem X-Wert aufgefasst und das Bild als Y-Wert.
Demnach verstehe ich das Beipsiel mit sinx nicht ganz..

2) surjektiv:

Im Skribt definiert durch:
wenn f(x) = y

Laut einer anderen Definition im Internet wird gesagt, dass jedes y mindestens eine Lösung x enthält.
Wo kann ich das an der Definition aus dem Skript erkennen?

Also verstanden habe ich das so. Ich habe einen Werte-Bereich Y und einen Funktionsbereich X. Jeder der Werte des Funktionsbereich wird dem Wertebereich zugeordnet(Denn sonst ist es ja keine Abbildung).

Aber es kann auch vorkommen, dass mehrere X-Werte einem Y-Wert zugeordnet werden.

Der unterschied zu injektiv ist, dass 1. jedem Y-Wert ein X-Wert zugeordnet wurd und 2. Auch mehrere X-Werte einem Y-Wert zugeordnet werden können.

Also jedem Y-Wert wird mindestens ein X-Wert zugeordnet.

3.Bijektiv

Bijektiv bedeuted, dass eine Abbilung surjektiv UND injektiv ist.
Das ist, sofern man beides verstanden hat ja nicht so schwer.

Da wir einmal sagen, dass jedem Y-Wert mindestens ein X-Wert zugeordnet wurd und andererseits gesagt wird, dass jedem Y-Wert höchstens ein X-Wert zugeordnt wird können wir also folgern:

Jedem Y-Wert wird genau ein X-Wert zugeordnet oder?

Über eine Antwort würde ich mich freuen. smile

Am besten fände ich es, wenn ihr jeweils zu 1) 2) und 3) etwas schreiben könntet.

Gruß

26.02.2013, 17:28

Dopap

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1.) ich würde so sagen, injektiv:

jeder Wert der Zielmenge hat höchstens ein Argument.

( jedes Bild hat höchstens ein Urbild kann ich nicht sagen, da nicht jedes ein Bild ist, es sei denn die Zielmenge stimmt mit der Wertemenge überein )

d.h. die Zielmenge ist Obermenge der Wertemenge.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb N \to \mathbb N \quad x \mapsto 2x \end{eqnarray*}$ ist injektiv

Was ist bei dir A in $\begin{eqnarray*} x,y\in A \end{eqnarray*}$ ?

26.02.2013, 18:00

sandra933

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Ist dein Beispiel nicht sogar bijektiv?

Also eigentlich hieß es so:

Die Abbildung f : A -> B

Injektiv
wenn für alle x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A aus f(x) = f(y) schon x = y folgt.

Aber wieso ist das Beispiel f(x) = sinx dann injektiv?

Ich meine es wird doch jedem Wert des Zielbereichs B nur ein Wert der Menge A zugeordnet oder nicht?

Nehmen wir aber mal sin(90) und sin(450), dann haben wir in beiden Fällen 1

26.02.2013, 19:16

Dopap

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Zitat:

Original von sandra933
Ist dein Beispiel nicht sogar bijektiv?

nein, es ist nicht surjektiv.

Zitat:

Also eigentlich hieß es so:

Die Abbildung f : A -> B

Injektiv
wenn für alle x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A aus f(x) = f(y) schon x = y folgt.

Ich bin da feinfühliger und würde nicht y in den Definitionsbereich einbinden.

f: D --> W ( Wertemenge oder Z = Zielmenge )

$\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2 \in \mathbb D : f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

gefällt mir besser.

Zitat:

Aber wieso ist das Beispiel f(x) = sinx dann injektiv?

gewöhn dir sauberes Arbeiten an. Obiges ist keine Funktion ! ( Warum ?)
Alle weiteren Argumente sind deshalb obsolet.

27.02.2013, 01:04

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Dopap

Zitat:

Aber wieso ist das Beispiel f(x) = sinx dann injektiv?

gewöhn dir sauberes Arbeiten an. Obiges ist keine Funktion ! ( Warum ?)
Alle weiteren Argumente sind deshalb obsolet.

Inwiefern ist $\begin{eqnarray*} f(x) =\sin(x) \end{eqnarray*}$ keine Funktion bzw. Abbildung? verwirrt

Edit: Wegen der fehlenden Klammern ums x herum? Wenn das die Antwort ist, dann ist immer noch nicht beantwortet, warum $\begin{eqnarray*} f(x) =\sin(x) \end{eqnarray*}$ angeblich injektiv sein soll. Aber vielleicht ist in dem Skript der Definitionsbereich eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} -\pi/2 \le x \le \pi/2 \end{eqnarray*}$ .

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