Polarkoordinaten - kartesische Koordinaten

26.02.2013, 17:49

gastphi

Polarkoordinaten - kartesische Koordinaten

Hallo zusammen,

von einem Übungsblatt stammt die folgende Aufgabe (es geht um Ellipsen);

zeige, dass der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} r = \frac{a(1-e^2)}{1+e cos\phi} \end{eqnarray*}$

für einen Kegelschnitt äquivalent ist zum Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-ea)^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2(1-e^2)} = 1 \end{eqnarray*}$

in kartesischen Koordinaten

$\begin{eqnarray*} (x,y)=(r cos \phi, r sin \phi) \end{eqnarray*}$

wobei (das steht allerdings nicht in der Aufgabe, aber müsste sinngemäss so sein) a die grosse Halbachse bezeichnet sowie e die Exzentrizität.

Meine Ideen:

Ich habe damit begonnen, den zweiten Ausdruck umzuschreiben gemäss der Koordinatentransformation und dann halt zu vereinfachen und auszurechnen. Dabei komme ich aber nicht weiter als

$\begin{eqnarray*} r(\frac{r}{a}+ 2cos\phi * e + a*e^2)=a(1-e^2) \end{eqnarray*}$

Das müsste ja heissen, dass der Term links in der Klammer gleich

$\begin{eqnarray*} 1+e cos\phi \end{eqnarray*}$

sein sollte, aber das stimmt doch nicht, oder? verwirrt

Wäre sehr dankbar wenn das kurz jemand nachrechnen könnte und schauen, ob ich schon vorher einen Fehler gemacht habe und/oder ob die beiden Ausdrücke wirklich äquivalent sind.

Vielen Dank schon mal! Freude

26.02.2013, 18:38

riwe

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RE: Polarkoordinaten - kartesische Koordinaten
ich erhalte allerdings

$\begin{eqnarray*} \frac{(x\color{red} +\color{black} ea)^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2(1-e^2)} = 1 \end{eqnarray*}$

verwirrt

26.02.2013, 18:47

gastphi

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RE: Polarkoordinaten - kartesische Koordinaten
Oh, sorry, da wurde ein Plus zum Minus (allerdings nur im ersten Post.. auf dem Papier immer mit Plus gerechnet)
Rechnest du denn vom oberen zum unteren Ausdruck durch? Benutzt du die Identität

$\begin{eqnarray*} e = \sqrt{a^2 \pm b^2} \end{eqnarray*}$ ?

Stimmt meine Berechnung bis dahin wie im ersten Post beschrieben? Ich rechne halt vom unteren auf den oberen Term..

Vielen Dank

26.02.2013, 18:55

riwe

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RE: Polarkoordinaten - kartesische Koordinaten
die identität braucht man nicht.
ich rechnen von oben nach unten und bin in ca. 4 zeilen am ziel Augenzwinkern

beginn:

$\begin{eqnarray*} r(1+e\cdot cos\phi)=r(1+ \frac{e\cdot x}{r})=r+e\cdot x\to r=a(1-e^2)-e\cdot x \end{eqnarray*}$

jetzt mußt du nur mehr quadrieren Augenzwinkern

26.02.2013, 19:38

gastphi

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Nurmehr quadrieren? Aber wie kommt dann das y da rein? Oh mann ich scheitere echt immer an den einfachen Dingen... unglücklich

danke vielmals für die Mühe aber ich glaub ich lass es für heute, hab schon Seiten vollgeschrieben damit

26.02.2013, 19:39

riwe

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Zitat:

Original von gastphi
Nurmehr quadrieren? Aber wie kommt dann das y da rein? Oh mann ich scheitere echt immer an den einfachen Dingen... unglücklich

danke vielmals für die Mühe aber ich glaub ich lass es für heute, hab schon Seiten vollgeschrieben damit

na das solltest du schon wissen unglücklich

wie ist denn $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ definiert verwirrt

und wozu sollte denn sonst das quadrieren gut sein verwirrt

26.02.2013, 20:32

blairm

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Also, wir haben r hier nicht formal definiert...

aus einer anderen Quelle habe ich

$\begin{eqnarray*} r^2=y^2+(e \pm x)^2 \end{eqnarray*}$

aber wenn ich ja dann beide Seiten quadriere, wie du gesagt hast, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} y^2+(e \pm x)^2 = (a(1-e^2)-ex)^2 \end{eqnarray*}$

und dann fällt ja das r raus? Erstaunt2

(bin der ersteller, kann irgendwie meinen gastnamen nicht mehr verwenden, darum hab ich mich registriert)

26.02.2013, 20:45

blairm

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okay also wenn gilt

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

dann gibts mit Quadrieren

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 = a^2(1-e^2)^2 - 2a(1-e^2)ex+e^2x^2 \end{eqnarray*}$

das kann ich ja ausrechnen und eventuell zusammenfassen

26.02.2013, 20:56

blairm

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Es nützt nichts... komme einfach nicht auf die gesuchte Form

26.02.2013, 21:18

riwe

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denke aan die quadratische ergänzung,
hilft das verwirrt

26.02.2013, 21:32

blairm

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also bis jetzt habe ich (von oben her gesehen) bis auf

$\begin{eqnarray*} (1-e^2)x^2 + 2ae(1-e^2)x-a^2(1-e^2)^2 = -y^2 \end{eqnarray*}$

runtergefasst, das vereinfacht sich dann zu

$\begin{eqnarray*} x^2 + 2aex + \frac{y^2}{1-e^2} = a^2(1-e^2) \end{eqnarray*}$ (*)

wenn ich die untere Gleichung der Aufgabenstellung etwas modifiziere ergibt sich

$\begin{eqnarray*} (x+ea)^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2) \end{eqnarray*}$ (**)

aber jetzt wieder... was links des Gleichheitszeichens in * und ** steht ist doch nicht das gleiche?! Verflucht
Also ** stimmt sicherlich, * kann ich nochmals nachrechnen

26.02.2013, 22:01

riwe

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Zitat:

Original von blairm
okay also wenn gilt

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

dann gibts mit Quadrieren

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 = a^2(1-e^2)^2 - 2a(1-e^2)ex+e^2x^2 \end{eqnarray*}$

das kann ich ja ausrechnen und eventuell zusammenfassen

ja das sollte man halt auch tun unglücklich

$\begin{eqnarray*} x^2(1-e^2)+2eax(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2)^2 | : (1-e^2) \end{eqnarray*}$

quadratische ergänzung wie empfohlen Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x^2+2eax+e^2a^2+\frac{y^2}{1-e^2}=a^2(1-e^2)+a^2e^2 \end{eqnarray*}$

nun sollte es aber schon alleine weiter gehen smile

27.02.2013, 00:48

blairm

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Zitat:

Original von riwe

Zitat:

Original von blairm

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 = a^2(1-e^2)^2 - 2a(1-e^2)ex+e^2x^2 \end{eqnarray*}$

das kann ich ja ausrechnen und eventuell zusammenfassen

ja das sollte man halt auch tun unglücklich

hab ich dann ja Augenzwinkern

(siehe ein post weiter oben, gleichung (*))
aber danke für den tipp mit der qE, hat inzwischen geklappt! Freude

hab einfach oft mühe mit puren "umformungs"aufgaben

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