Integrieren einer Funktion mit der Betragsfunktion

26.02.2013, 19:12

PinkPalace

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Integrieren einer Funktion mit der Betragsfunktion

Meine Frage:
Wir haben folgende Aufgabe als Hausaufgaben bekommen:
Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f(x)= mit der x-Achse auf dem Intervall {-e;1} einschließt.

Leider hatten wir noch keine ähnlich Aufgabe im Unterricht und wir behandeln zur Zeit die Logarithmus und deren Ableitung.
Die Betragsfunktion hatten wir zudem auch noch nie im Unterricht..

Meine Ideen:
Die gegebene Funktion (2+|x|)/(x^2) kann man ja in zwei Brüche aufteilen, von dem ich den einen problemlos integrieren kann.

f(x)=(2/x^2)+(|x|/x^2)
(Die Stammfunktion des ersten Bruches lautet dann -(2/x))

Nun liegt das Problem beim zweiten Bruch. Man kann hier ja eine Fallunterscheidung bilden und von dieser eine Stamm Funktion bilden.

-(x/x^2) für x<0
(x/x^2) für x>0

Stammfunktion bilden:

-1/2*ln(x^2) für x<0
1/2*ln(x^2) für x>0

So weit bin ich schonmal..
Ob meine Schlussfolgerung stimmt, weiß ich nun nicht..
Ich würde an diesem Punkt sagen, dass |1/2*ln(x^2)| die Stammfunktion von (|x|/x^2) ist. Wenn ich jedoch in die Funktion 1/2*ln(x^2) z.B. -2 einsetze, bekomme ja das gleiche Ergebnis, wie bei 2, da das einzige x der Funktion quadriert wird.
Kann ich nun einfach sagen, dass 1/2*ln(x^2) die Stammfunktion von (|x|/x^2) ist?
Also dass die Stammfunktion von (2+|x|)/(x^2) dann -(2/x)+1/2*ln(x^2) ist?

26.02.2013, 20:13

Dopap

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RE: Integrieren einer Funktion mit der Betragsfunktion

Zitat:

Original von PinkPalace
-(x/x^2) für x<0
(x/x^2) für x>0

Stammfunktion bilden:

-1/2*ln(x^2) für x<0
1/2*ln(x^2) für x>0

die Stammfunktionen sind ein wenig überladen. Jede lässt sich nach dem 3. Logarithmengesetz zu
$\begin{eqnarray*} \pm \ln(x) \end{eqnarray*}$ vereinfachen.

Du könntest aber auch gleich deine Teilfunktionen kürzen:

$\begin{eqnarray*} -\frac {x}{x^2}= -\frac 1 x \qquad x<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {x}{x^2}= \frac 1 x \qquad x>0 \end{eqnarray*}$

und jetzt nochmal neu argumentieren...

26.02.2013, 20:24

PinkPalace

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-1/x für x<0
1/x für x>0

Stammfunktionen bilden:

-ln(x) für x<0
ln(x) für x>0

War das denn nicht eigentlich so, dass man keine negativen Zahlen für ln(x) einsetzen darf?
Dann geht x<0 Teil der Fallunterscheidung der Stammfunktion doch garnicht oder?

26.02.2013, 20:35

Dopap

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nicht vom Minus irritieren lassen !

wenn x<0 dann ist $\begin{eqnarray*} \ln(-x) \end{eqnarray*}$ kein Problem.

26.02.2013, 20:47

PinkPalace

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Naja, dann würde ich sagen, dass die Stammfunktion von |x|/x^2 demnach ln(x) ist.
Aber warum geht ln(x) für x<0 hier? x<0 steht doch für die Zahlen, die eingesetzt werden oder? Und das sind hier dann ja nur negative Zahlen..

26.02.2013, 21:08

Dopap

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das ist der Graph.

Jetzt überlege mal was das Integral von -e bis 1 ist.

Bin aber jetzt mal weg. unglücklich

unglücklich

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27.02.2013, 08:18

PinkPalace

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Der graph hilft mir jetzt auch nicht großartig weiter..
Demnach könnte der Flächeninhalt unendlich groß sein, aber auch endlich..
Ich weiß wirklich nicht, was ich nun mit dem Graph tun sollte..

27.02.2013, 08:20

PinkPalace

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Der graph hilft mir jetzt auch nicht großartig weiter..
Das einzige, was ich daran erkennen kann, ist dass der Flächeninhalt wahrscheinlich endlich groß ist oder nicht?
Ich weiß wirklich nicht, was ich nun mit dem Graph tun sollte..

27.02.2013, 08:28

PinkPalace

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Sorry für den Doppelpost. X.x
Hab mich jetzt Auch angemeldet.
Und der Flächeninhalt ist endlich oder?

27.02.2013, 08:39

Bürgi

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1. Der Graph sieht ein bisschen anders aus. (Dopap hat einen kleine Tippfehler gemacht. Siehe Anhang)

2. Da offensichtlich von Dir verlangt wird über eine Polstelle zu integrieren, kannst Du ohne Rechnung feststellen, dass das bestimmte Integral nicht existiert.

3. Deine Überlegung, dass bei der Logarithmusfunktion keine negativen Argumente erlaubt sind, waren völlig richtig. Nur:

|x| >= 0 für alle x
x^2 >= 0 für alle x

d.h. der Quotient $\begin{eqnarray*} \frac{|x|}{x^2} > 0~,~x\ne 0 \end{eqnarray*}$ , womit er als Argument für die Logarithmusfunktion zulässig ist.

27.02.2013, 12:07

PinkPalace

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Also ist ln(x) dann die StammFunktion von |x|/x^2??
Nur in |x|/x^2 kann man ja auch neg. Zahlen einsetzen. In ln(x) aber nicht.. Dann stimmt das doch nicht oder?

27.02.2013, 14:29

Bürgi

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Nicht ganz.

$\begin{eqnarray*} \frac{|x|}{x^2} = \frac1{|x|} \end{eqnarray*}$

woraus dann sofort folgt, dass

$\begin{eqnarray*} \int \left( \frac1{|x|} \right) = \ln(|x|)~,~x \ne 0 \end{eqnarray*}$

27.02.2013, 16:23

PinkPalace

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Warum ist |x|/x^2 = 1/|x|?
Ich kann nicht erkennen, wie man das kürzen kann..

Und wenn ln(|x|) die StammFunktion von 1/|x| ist, ist ln(x^2) dann auch die StammFunktion von 1/x^2?
Wenn ja, warum gilt das?

27.02.2013, 16:35

Bürgi

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$\begin{eqnarray*} \int\left(\frac1{x^2} \right)dx = \int(x^{-2})dx = -\frac1x \end{eqnarray*}$

Bei der Umformung des Quotienten musst Du eine Fallunterscheidung machen:

$\begin{eqnarray*} |x|=\left \lbrace \begin{array}{r}x~,~x\ge 0\\ -x~,~x < 0\end{array} \right. \end{eqnarray*}$
und dann kürzen.

27.02.2013, 16:49

PinkPalace

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Demnach ist |x|/x^2 = |x|*x^-2 oder nicht?
Aber das kann ich trotzen nicht einfach so integrieren..

27.02.2013, 16:53

Bürgi

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Du hast natürlich recht, dass man das nicht "einfach" integrieren kann, deshalb wurden ja auch die Umformungen vorher durchgeführt.

Aber ich verstehe jetzt nicht, wo für Dich das Problem ist verwirrt

verwirrt

EDIT: Muss jetzt leider los Euronen scheffeln Wink

Wink

27.02.2013, 18:17

PinkPalace

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Mein Problem ist, dass du das hier sagtest:
|x|/x^2 = 1/|x|
Nur kann ich leider überhaupt nicht nachvollziehen, wie du das gemacht hast bzw warum das gilt.

27.02.2013, 18:57

PinkPalace

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Bin glaub ich schonmal etwas weiter..
Ich hab jetzt verstanden warum |x|/x^2 = 1/|x| gilt.
Ich hab nun versucht von der Funktion f(x)=(2+|x|)/(x^2)= 2/x^2+1/|x| id Stammfunktion zu finden..
Da kam -2/x+ln(|x|) heraus. wenn mit der Gleichung nun versuche Den Flächeninhalt dieses Fläche zu bestimmen kommt -3,7357... heraus.. Aber die Fläche kann ja nicht negativ sein.. Eingegeben ist es richtig.. ich hab's zwei Mal versucht und es kam zwei mal das Ergebnis heraus.
Oder ist meine Stammfunktion falsch..?

27.02.2013, 20:15

Bürgi

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Sehr gut: Deine Stammfunktion ist richtig. Freude

Freude

Ich nehme an, dass Du Dich auf die Grenzen beziehst, die Du in Deinem ersten Post angegeben hast: Von -e bis 1.

Wie ich Dir schon vorher geschrieben habe, existiert das bestimmte Integral in diesen Grenzen nicht, da bei null eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vorliegt, d.h., die Fläche wird unendlich groß. Sieh Dir nochmal den Graphen der Funktion an.

27.02.2013, 21:19

PinkPalace

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Kann man das nicht aufteilen?
Also von -e bis 0 und von 0 bis 1?

27.02.2013, 21:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bürgi
Sehr gut: Deine Stammfunktion ist richtig.

Für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ist sie das nicht. Das war auch schon weiter oben in deinem Beitrag

Zitat:

Original von Bürgi
$\begin{eqnarray*} \frac{|x|}{x^2} = \frac1{|x|} \end{eqnarray*}$

woraus dann sofort folgt, dass

$\begin{eqnarray*} \int \left( \frac1{|x|} \right) = \ln(|x|)~,~x \ne 0 \end{eqnarray*}$

falsch: Tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x} ~ \dd x = \ln(|x|) + C \end{eqnarray*}$

sowohl auf $\begin{eqnarray*} (-\infty,0) \end{eqnarray*}$ als auch auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ eine passende Stammfunktion (womit ich auch deutlich kenntlich machen will, dass man bei entsprechenden bestimmten Integralen nicht über die 0 "hinwegintegrieren" darf!). Woraus dann für den Betrag folgt

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x} ~ \dd x = \ln(x) + C \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{|x|} ~ \dd x = -\int \frac{1}{x} ~ \dd x = -\ln(|x|) + C = -\ln(-x) + C \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ .

In dem Sinne war dies vom Eröffnungsbeitrag

Zitat:

Original von PinkPalace
Stammfunktion bilden:

-1/2*ln(x^2) für x<0
1/2*ln(x^2) für x>0

also völlig korrekt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.02.2013, 21:42

PinkPalace

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*hust* und was ist C?
Und wenn das aus meinem Eröffnungs beitrag stimmt, ist |1/2*ln(x^2)| (Oder ohne Betrag) dann richtig als Stammfunktion?

27.02.2013, 21:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von PinkPalace
*hust* und was ist C?

Ich muss jetzt nicht wirklich drüber reden, dass eine Funktion mehrere Stammfunktionen hat, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden?

Zitat:

Original von PinkPalace
ist |1/2*ln(x^2)| (Oder ohne Betrag) dann richtig als Stammfunktion?

Nein!!! Das ist nun völlig verkehrt, und zwar sowohl für $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ , als auch für $\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$ . Also vergiss das mal ganz schnell, diese willkürliche Betragssetzung ohne Sinn und Verstand.

Was spricht denn gegen die obige fallweise Betrachtung? Man muss doch nicht auf Biegen und Brechen eine gemeinsame Formel für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angeben. unglücklich

unglücklich

27.02.2013, 21:54

PinkPalace

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Das meinst du.
Ich dachte es sei irgendeine irreelle Zahl. Big Laugh

Big Laugh

Und wie geb ich nun das Integral an? Muss ich das dann teilen in -e bis 0 und 0 bis 1?

27.02.2013, 22:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von PinkPalace
Muss ich das dann teilen in -e bis 0 und 0 bis 1?

Auf jeden Fall - schon allein deswegen, weil der Integrand eine Polstelle bei x=0 hat!

27.02.2013, 22:18

PinkPalace

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Also muss ich auch das -2/x aufteilen?

27.02.2013, 22:24

HAL 9000

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Na ja doch! Muss du bei jedem klitzekleinen Schritt nachfragen, statt mal 2 Minuten nachzudenken? unglücklich

unglücklich

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