Ebene durch drei Punkte

19.02.2007, 15:29

elfchen

Ebene durch drei Punkte

Wenn ich eine Ebene durch drei Punkte aufstellen möchte, mache ich das ja mit der Form:
X = A+s*a+t*b
wobei A = Anfangspunkt
a,b Richtungsvektoren von der Ebene
aber wenn ich den Normalvektor dieser Ebene brauche, nehme ich dann den Vektor a oder b aus der Parameterdarstellung???

19.02.2007, 15:34

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Keinen von Beiden Augenzwinkern

. Der Normalenvektor ist SENKRECHT zur Ebene - die Richtungsvektoren liegen aber AUF der Ebene.

Du kannst den Normalenvektor aber ganz einfach mit dem Kreuzprodukt errechnen:
$\begin{eqnarray*} \vec{a}\times \vec{b}=\vec{n} \end{eqnarray*}$
Denk mal drüber nach wieso. Und wenn du das Kreuzprodukt noch nicht kennst, überlege mal einen anderen Weg!

Gruß
MI

19.02.2007, 15:36

riwe

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RE: Ebene durch drei Punkte
weder noch
$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\vec{a}\times\vec{b} \end{eqnarray*}$

oder wenn du das vektorprodukt noch nicht kennst

$\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{n}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{b}\cdot\vec{n}=0 \end{eqnarray*}$

und eine komponente von $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ kannst du wählen.

werner

19.02.2007, 17:19

Leopold

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Warum nicht den Ansatz

$\begin{eqnarray*} n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 + n_4 = 0 \end{eqnarray*}$

mit unbekannten Koeffizienten $\begin{eqnarray*} n_1, n_2, n_3, n_4 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ machen? Setzt du die Koordinaten der Punkte für $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ ein, so erhältst du ein homogenes lineares Gleichungssystem vom Typ 3×4. Löse es auf eine dir bekannte Art und Weise (bringe es z.B. mit dem Gaußschen Algorithmus auf Stufenform). Eine spezielle nichttriviale Lösung genügt.

Wenn man das einmal ausprobiert, stellt man fest, daß es auch nicht aufwendiger als die anderen vorgeschlagenen Möglichkeiten ist. Wenn man ein Hilfsmittel wie z.B. einen GTR zur Verfügung hat, dann ist es sogar das sicherste Verfahren - man muß nur noch richtig eintippen! Beim Rechnen "von Hand" sind alle Verfahren rechenfehleranfällig (Vorzeichenfehler).

20.02.2007, 10:30

elfchen

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RE: Ebene durch drei Punkte
ich hab das jetzt mit dem Kreuzprodukt berechnet,also in zahlen:

$\begin{eqnarray*} E: X = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 2 \\ 16 \\ 6 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} also: \begin{pmatrix} 2 \\ 16 \\ 6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} --> n = \begin{pmatrix} -80 \\ 40 \\ -80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Gerade muss ich durch den Punkt S (10,2,26) aufstellen, die lautet also:

h: X =-2*x+y-2*x = -96 (S eingesetzt)

schneide ich die beiden, bekomme ich aber 0t+02 = -80 heraus, das bedeutet die beiden sind paralell..
wenn ich für h die Form:
$\begin{eqnarray*} h: X= \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 26 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nehme, bekomme ich auch kein Ergebnis, also wieder paralell, was mache ich falsch??

20.02.2007, 10:58

riwe

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RE: Ebene durch drei Punkte

Zitat:

Original von elfchen
ich hab das jetzt mit dem Kreuzprodukt berechnet,also in zahlen:

$\begin{eqnarray*} E: X = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 2 \\ 16 \\ 6 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} also: \begin{pmatrix} 2 \\ 16 \\ 6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} --> n = \begin{pmatrix} -80 \\ 40 \\ -80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Gerade muss ich durch den Punkt S (10,2,26) aufstellen, die lautet also:

h: X =-2*x+y-2*x = -96 (S eingesetzt)

3)schneide ich die beiden, bekomme ich aber 0t+02 = -80 heraus, das bedeutet die beiden sind paralell..
wenn ich für h die Form:
$\begin{eqnarray*} h: X= \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 26 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nehme, bekomme ich auch kein Ergebnis, also wieder paralell, was mache ich falsch??

1) 2x - y + 2z = 20 - 2 + 52 = 70
2) das ist eine ebene. unglücklich

3) wo kommt denn da plötzlich eine gerade her,
und was schneidest du denn verwirrt

es wäre viel leichter, wenn du die gänze aufgabe schicktest.
werner

20.02.2007, 11:09

elfchen

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RE: Ebene durch drei Punkte
Aufgabe:
Die Punkte A(6/-4/0), B (8/12/6) und C (12/4/-2) sind die Basiseckpunkte eines Tetraeders mit der Spitze S (10/2/26). Berechne die Länge der Körperhöhe und die Koordinaten des Fußpunktes.

Ich hätte es so gerechnet:
Ebene durch A,B,C --->Normalvektor aufstellen, mit dem Normalvektor eine Gerade durch die Spitze S, die Gerade schneiden mit der Ebene = Fußpunkt und FS = h?!

20.02.2007, 11:45

Bjoern1982

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Im Prinzip ja Freude

Bedenke nur dass du am Ende die Länge des Vektor FS berechnen musst.

Gruß Björn

20.02.2007, 11:47

elfchen

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ja das ist mir schon klar Augenzwinkern

nur siehe den eintrag oben drüber Big Laugh

wenn ich den normalvektor durch das Kreuprodukt ausrechne und eine Gerade durch S mit dem Normalvektor aufstelle, diese dann mit der Ebene schneide, sind sie paralell.. Augenzwinkern

also ich bekomme 0t+0s = -80 heraus!
sowohl in der Parameterform als auch in der normalen Form bekomme ich keinen Schnittpunkt! Das ist mein Problem smile

20.02.2007, 11:57

Bjoern1982

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Wie Werner schon angemerkt hatte stimmt die Zahl auf der rechten Seite deiner Ebenengleichung nicht. Um eine mögliche Zahl zu erhalten setze doch mal den Punkt A in -2x+y-2z ein. Dann kommt auch ein schöner Wert für t heraus.

Gruß Björn

20.02.2007, 12:20

Leopold

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Mit der von mir beschriebenen Methode geht es so:

Das homogene Gleichungssystem kann man sofort hinschreiben (die Nullen auf der rechten Seite des Gleichungssystems braucht man nicht mitführen; die bleiben sowieso). Man addiert das Dreifache der letzten Zeile zur zweiten Zeile. Dann addiert man das Sechsfache der ersten Zeile zur zweiten Zeile:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} n_1 & n_2 & n_3 & n_4 \\ 6 & -4 & 0 & 1 \\ 8 & 12 & 6 & 1 \\ 12 & 4 & -2 & 1 \end{matrix} \ \ \Leftrightarrow \ \ \begin{matrix} n_1 & n_2 & n_3 & n_4 \\ 6 & -4 & 0 & 1 \\ 44 & 24 & 0 & 4 \\ 12 & 4 & -2 & 1 \end{matrix} \ \ \Leftrightarrow \ \ \begin{matrix} n_1 & n_2 & n_3 & n_4 \\ 6 & -4 & 0 & 1 \\ 80 & 0 & 0 & 10 \\ 12 & 4 & -2 & 1 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir schon Stufenform erreicht (denn die erste Zeile enthält eine Null mehr als die dritte und die zweite eine Null mehr als die erste). Die zweite Gleichung sagt, daß $\begin{eqnarray*} n_4 \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} (-8) \end{eqnarray*}$ -fache von $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ sein muß. Mit der Wahl $\begin{eqnarray*} n_1 = 1 \end{eqnarray*}$ findet man sofort

$\begin{eqnarray*} n_1 = 1 \, , \ \ n_2 = - \frac{1}{2} \, , \ \ n_3 = 1 \, , \ \ n_4 = -8 \end{eqnarray*}$

20.02.2007, 13:06

elfchen

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ja aber warum in die gerade A einsetzen, ich muss doch eine durch die Spitze S machen oder nicht???

20.02.2007, 13:12

riwe

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nein, du mußt doch den FUSSpunkt F berechnen. und der liegt in der ebene ABC, die da lautet, wie wir nun alle wissen unglücklich

:
E: 2x - y + 2z -16 = 0
und nun schneidest du die lotgerade durch S mit E, was F ergibt.

nur nebenbei: wenn du NUR das volumen des tetraeders haben möchtest, würde ich das mit dem spatprodukt berechnen.

werner

20.02.2007, 13:16

Bjoern1982

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Du brauchst ja den Schnittpunkt der Geraden h durch S und der Ebene durch die Punkte A,B und C.

Die Parameterform der Ebene hast du ja schon richtig berechnet.
Entweder setzt du jetzt diese Parameterform der Ebene mit der Parameterform der Geraden gleich und löst das LGS oder formst noch eben schnell dir Ebenengleichung in Koordinatenform um, was schneller gehen würde....aber Geschmacksache ist Augenzwinkern

Durch deinen schon bestimmten Normalenvektor der Ebene ergibt sich ja schonmal die linke Seite der Koordinatengleichung, nämlich -2x+y-2z
Die rechte Seite der Gleichung erhälst du dann durch Einsetzen eines Punktes der Ebene, z.B. den Punkt A.

Wenn man dann jetzt die Gerade als Vektor mit den Koordinaten x,y und z in die Koordinatengleichung der Ebene einsetzt kann man nach t auflösen...

Gruß Björn

20.02.2007, 13:33

elfchen

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danke für die hilfe!

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