DGL 2. Ordnung

27.02.2013, 15:47

Stefan03

DGL 2. Ordnung

Hallo,

folgende Aufgabe: Überführe die Gl. $\begin{eqnarray*} y''(t)+ay'(t)+\sin(y(t))=0, a>0, t\ge 0 \end{eqnarray*}$ in ein System 1. Ordnung der Form $\begin{eqnarray*} v'(t)=f(v(t)), v=(y,y') \end{eqnarray*}$
Irgendwie macht mir der letzte Satz Probleme...Ich würde einfach $\begin{eqnarray*} x:=y' \end{eqnarray*}$ definieren und folgich $\begin{eqnarray*} x'=y'' \end{eqnarray*}$ , womit sich ergibt mit $\begin{eqnarray*} v=(x,y) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} v'(t)=\left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} ax-\sin(y) \\ x \end{array} \right) \end{eqnarray*}$

Aber ist das richtig?!? Eher nicht...Welche Transformation muss ich denn ganz zu Beginn durchführen?

27.02.2013, 15:59

Che Netzer

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RE: DGL 2. Ordnung

Zitat:

Original von Stefan03
$\begin{eqnarray*} v'(t)=\left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} ax-\sin(y) \\ x \end{array} \right) \end{eqnarray*}$

In der ersten Komponente fehlt nur ein Vorzeichen.

Ansonsten solltest du eigentlich $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}y\\y'\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ benutzen, nicht $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}y'\\y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Edit: Ach ja, und Matrizen/Vektoren kannst du per \begin{pmatrix}...\end{pmatrix} schreiben.

27.02.2013, 17:35

Stefan03

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danke für den Matrixschreibhinweis.

Stimmt, Vorzeichen vergessen...Aber wie bekomm ich das mit dem $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}y\\y'\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hin? Einfach die Zeilen vertauschen?!?

Aber dann stimmt ja meine Substitution mit $\begin{eqnarray*} x:=y' \end{eqnarray*}$ nicht mehr?!?

Oder darf ich einfach $\begin{eqnarray*} y:=y' \end{eqnarray*}$ setzen? Weil dann geht $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}y\\y'\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ natürlich...

27.02.2013, 17:41

Che Netzer

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Zitat:

Original von Stefan03
Stimmt, Vorzeichen vergessen...Aber wie bekomm ich das mit dem $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}y\\y'\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hin? Einfach die Zeilen vertauschen?!?

Ja, genau.

Zitat:

Aber dann stimmt ja meine Substitution mit $\begin{eqnarray*} x:=y' \end{eqnarray*}$ nicht mehr?!?

Naja, dann solltest du aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ betrachten.

Zitat:

Oder darf ich einfach $\begin{eqnarray*} y:=y' \end{eqnarray*}$ setzen? Weil dann geht $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}y\\y'\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ natürlich...

Nur wenn du mit dem ersten $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die zweite Komponente des Vektors $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ meinst.

27.02.2013, 17:42

Stefan03

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Aber dann stimmt ja meine Substitution mit $\begin{eqnarray*} x:=y' \end{eqnarray*}$ nicht mehr?!?

Naja, dann solltest du aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ betrachten.

Danke, das hilft mir smile

27.02.2013, 22:04

Dopap

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Fritz raste im total verwahrlosten Taxi

Fritz raste im total verwahrlosten Taxi

Fritz raste im total verwahrlosten Taxi

Fritz raste im total verwahrlosten Taxi

Fritz raste im total verwahrlosten Taxi

Fritz raste im total verwahrlosten Taxi

edit:
uups... wollte mal verschiedene Fonts vergleichen und dann aus alter Gewohnheit...
kann aber vom Moderator gelöscht werden...

28.02.2013, 16:33

Che Netzer

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Hatte mich beim ersten Lesen an "All work and no play makes Jack a dull boy" erinnert.
Nur mal so als Erinnerung an die Moderatoren, dass es hier was zum Löschen gibt... Augenzwinkern

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