Normalverteilung mit negativen z

27.02.2013, 16:47

Normalverteilung mit negativen z

Ich stehe vor folgendem Problem, bei der Berechnung des folgenden Ausdrucks.

$\begin{eqnarray*} B(1000; 0,03; k\leq 25)=F(1000; 0,03; 25) \end{eqnarray*}$

Nach der globalen Näherungsformel von Laplace und De Moivre gilt ja:

$\begin{eqnarray*} F(1000; 0,03; 25)\approx\Phi(z) \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} z=\frac{k-\mu+0,5}{\sigma} \end{eqnarray*}$

Unter der Bedingung:

$\begin{eqnarray*} \sigma(X)>3 \end{eqnarray*}$

Die Bedingung ist auch erfüllt, da

$\begin{eqnarray*} \sigma(X)=5,39>3 \end{eqnarray*}$
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Jetzt zu meinem Problem. Wenn ich z berechne erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{25-(1000\cdot 0,03)+0,5}{\sqrt{1000\cdot0,03 \cdot0,97 } } \approx -0,8342 \end{eqnarray*}$

Der Wert ist negativ. Meine Tabellen zu den Funktionswerten der Normalverteilung $\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ enthält nur Werte mit $\begin{eqnarray*} z>0 \end{eqnarray*}$ . Mein z ist hier aber negativ.
Was mache ich nun?

Meine Ideen

1. Meine erste Idee ist, das ganze nach der Gauß'schen Integralfunktion zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } \int_{-\infty }^z \! e^{-\frac{1}{2}t^2 } \, dt \end{eqnarray*}$

2. Als wir vor der globalen Näherungsfunktion die lokale Näherungsfunktion hatten, haben wir definiert, dass die Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} \phi(t) \end{eqnarray*}$ ja symmetrisch zur y-Achse ist, sodass man dort auch einfach nur den positiven Wert nehmen kann. Funktioniert das hier auch? Dann hätte ich vermutet, dass ich auch über die Gauß'sche Integralfunktion gehen muss aber unter Berücksichtigung der anderen Grenzen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } \int_{-z }^\infty \! e^{-\frac{1}{2}t^2 } \, dt \end{eqnarray*}$

Aber auch hier komme ich nicht über das Integral hinweg. Oder muss ich auch hier einfach nur beim positiven z-Wert in der Tabelle nachschauen?

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27.02.2013, 16:56

Admiral

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Ich belasse mal die Rechnungen unkommentiert ( habe sie auch nur kurz überflogen Augenzwinkern

). Für die Phi- funktion gilt: $\begin{eqnarray*} \Phi (-z)=1-\Phi (z) \end{eqnarray*}$ . Überlege, in wie weit dir das hilft und warum deshalb die Tabelle mit den Werten so wie sie ist"abgekürzt" werden kann.

27.02.2013, 17:21

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Hm okay. Wie kommt man denn darauf?

Meine gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aber trotzdem $\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \Phi(-z) \end{eqnarray*}$ oder?

27.02.2013, 17:49

Math1986

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Nein. Gesucht ist $\begin{eqnarray*} \Phi (-z)=1-\Phi (z) \end{eqnarray*}$ . letzteren Wert kannst du der Tabelle entnehmen.

27.02.2013, 18:46

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Ok.

Aber warum gilt nun

$\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1- \Phi(z) \end{eqnarray*}$

28.02.2013, 10:48

Math1986

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Zitat:

Original von Yu
Ok.

Aber warum gilt nun

$\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1- \Phi(z) \end{eqnarray*}$

Weil der Graph der Normalverteilung achsensymmetrisch ist.

28.02.2013, 13:49

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Ja ich konnte es mir grafisch erklären.

Die Gesamtfläche ist ja 1 und die Flächen und - undendlich bis -z ist ja gleich der von z bis + unendlich.
Durch das Gegenereignis gilt dann ja:

$\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi(z) \end{eqnarray*}$

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