Auto -> Betrag der Geschwindigkeit gleich dem Betrag der Entfernung zum Ziel

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Jan102 Auf diesen Beitrag antworten »
Auto -> Betrag der Geschwindigkeit gleich dem Betrag der Entfernung zum Ziel
Meine Frage:
Ein Auto fährt mit 100 km/h und 100km Entfernung zu seinem Ziel los.
Der Betrag der Geschwindigkeit ist immer gleich dem Betrag der Restentfernung zum Ziel. Wenn das Auto also 10 km zurückgelegt hat, beträgt die Geschwindigkeit exakt 90 km/h und die Entfernung zum Ziel 90 km.
Nach 90 zurückgelegten km beträgt die Geschwindigkeit dann 10 km/h und die Entfernung zum Ziel 10km.

Wie lange braucht das Auto nun um 90km zurückzulegen bzw. eine Geschwindigkeit von 10 km/h zu erreichen?

Meine Ideen:
Zu allererst: Ich habe keine Ahnung ob mein Lösungsansatz korrekt ist oder nicht, ich habe mir einfach logisch etwas überlegt und versucht umzuformen.

Ich habe mir gedacht, dass das Auto unendlich viele Zwischenschritte macht. Es fährt also für einen winzigen Moment mit 100 km/h. Sagen wir für 1 Minute um es zu veranschaulichen. Dann hat es 100*1/60 = 1,6666... km zurückgelegt und v beträgt dann ca. 98,33333... km/h. Dann fährt es wieder für eine Minute weiter mit 98,33333 km/h u.s.w..
100-100*1/60 = 100*59/60
Das ist dann im Prinzip eine Folge, die wie folgt definiert ist, wenn der Zwischenschritt 1 Minute beträgt:
v(n+1) = v(n)*(59/60) => v1 = 100
Damit habe ich mir nun eine Exponentialfunktion überlegt:
f(x) = 100*((60-n)/60)^(x/n)
für n->0


Hier ein Beispiel für ein kleines n:
Wenn man nun für n = 10^-6 (1 Millionen Zwischenschritte) einsetzt erhält man folgendes:
f(x) = 100 * (59999999/60000000)^1000000x
10 für y einsetzen:
10 = 100 * (59999999/60000000)^1000000x
<=> 0,1 = (59999999/60000000)^1000000x
<=> 10^-6*log(59999999/60000000) 0,1 = 138,1551...
Die Lösung müsste also irgendwo um 138,155 Minuten liegen, nur um mal 'ne Vorstellung davon zu bekommen.

Statt jetzt mit Zahlen ein Beispiel wie oben durchzurechnen kann man ja auch einfach n stehenlassen.
Das ergibt dann folgendes:
lim n->0 (1/n)*log((60-n)/60) 0,1 = ?
Hinweis zum Taschenrechner: Wenn ich bei mir (60-n)/60 nicht als Bruch geschrieben habe, war das Ergebnis im Bereich von 10^14 also total falsch. Mit Bruch kommt ~138 raus
Wie kann ich nun den Limes bzw. Grenzwert davon genau ausrechnen und nicht einfach ein kleines n einsetzen?
Es müsste doch auch durch eine unendliche Reihe ausdrücken zu sein?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

obwohl ich es im Detail nicht ganz nachvollziehen kann schaut es gut aus.

Genaue Rechnung: Differentialgleichung





im Zähler steht die Ableitung des Nenners -->



Anfangsbedingung einsetzen , usw.

Auf jeden Fall gilt dann:

oder 138.15510558 Minuten. ( alle Ziffern )
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