Potenz konvergenter Folgen wieder konvergent?

27.02.2013, 19:55	Sebi_123	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenz konvergenter Folgen wieder konvergent? Hallo zusammen, bin mir bei folgendem Sachverhalt nicht sicher: Seien $\begin{eqnarray} (a_n)_{n \in \mathbb{N}}, (b_n)_{n \in \mathbb{N}}\subset (0, \infty)\;\text{Folgen\;mit\;}a_n \rightarrow a\;\text{und}\;b_n \rightarrow b \end{eqnarray}$ . Gilt dann $\begin{eqnarray} (a_n)^{b_n} \rightarrow a^b \end{eqnarray}$ ?? Gruß Sebastian
27.02.2013, 20:02	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke der Fall dass beides Nullfolgen sind, könnte dir einen Strich durch die Rechnung machen. Gruß Shipwater
27.02.2013, 20:10	Sebi_123	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist wohl wahr. Den Fall brauch ich nicht. $\begin{eqnarray} a_n \rightarrow a >0 \end{eqnarray}$ reicht mir.
27.02.2013, 20:30	Sebi_123	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß jemand, ob obige Aussage mit a,b > 0 gelten würde?
27.02.2013, 20:42	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Fall $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ (und natürlich $\begin{eqnarray} a,b<\infty \end{eqnarray}$ ) genügt tatsächlich schon, um $\begin{eqnarray} a_n^{b_n}\to a^b \end{eqnarray}$ zeigen zu können – versuche das doch mal.
28.02.2013, 19:45	Sebi_123	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal hallo zusammen, ich hab die Abschätzung bislang noch nicht hinbekommen, ich habe Folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} \|a^{b_n}_n - a^b\| = \|a^{b_n}_n - a^b_n + a^b_n - a^b\| \leq \|a^{b_n}_n - a^b_n\| + \|a^b_n - a^b\| = \|a^b_n\| (\|a^{b_n - b}_n - 1\| + \|1 -(\frac{a}{a_n} )^b\| ) \end{eqnarray}$ 1. Dann hab ich schon verschiedenes für $\begin{eqnarray} \|a^{b_n - b}_n - 1\| \end{eqnarray}$ ausprobiert, aber irgendwie krieg ichs nich hin. Kann mir jemand weiterhelfen? 2. Ist $\begin{eqnarray} \|1 -(\frac{a}{a_n})^b\| \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ allgemein bekannt?
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28.02.2013, 20:26	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Igitt... $\begin{eqnarray} a_n^{b_n}=\mathrm e^{b_n\ln a_n}\,. \end{eqnarray}$

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