Wurzelungleichungen

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19.02.2007, 16:04	Marsmongo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzelungleichungen Hallo ^^ meine Freundin stellte mir heute folgende Aufgabe... Beweise: $\begin{eqnarray} \sqrt{x+1}-\sqrt{x} > \sqrt{x+2} - \sqrt{x+1} \end{eqnarray}$ Soweit so gut, so rein gefühlsmäßig ist das ja auch wahr für $\begin{eqnarray} x\in \mathbb{R} \wedge x \geq 0 \end{eqnarray}$ Ich habe auch ein wenig rumgerechnet und dachte dass ich zu nem Ergebnis gekommen bin weil ich dann irgendwann eine ganzrationale Funktion 4. Grades raushatte die größer 0 sein sollte mit ausschließlich positiven Koeffizienten was zusammen mit dem Definitionsbereich ja dann $\begin{eqnarray} x\geq0 \end{eqnarray}$ ergeben würde. Beim nochmaligen durchgehen sind mir dann ein paar Dinge aufgefallen. 1. Ich habe irgendwo nen absolutes Glied geschludert 2. Ich bin recht unsicher ob das 3malige Quadrieren Äquivalenzumformungen waren. Gut den Schusselfehler kann ich selbst beheben aber bei meinen Unsicherheiten bräuchte ich eure Hilfe ^^'' Meine Fragen jetzt an euch: Wann ist quadrieren einer Ungleichung eine Äquivalenzumformung, wann muss ich das Relationszeichen drehen? Ist die Strategie mit dem Rationalmachen durch mehrmaliges Quadrieren überhaupt die Richtige? Ich denke meine Freundin will hier auf vollständige Indukition hinaus (wovon ich aber bevor sie es ansprach noch nie etwas gehört habe), außerdem denke ich doch, dass wenn das da oben eine wahre Aussage ist, dass man das dann doch durch "einfach rechnen" auch beweisen können müsste. Ist es überhaupt ein Beweis wenn ich diese Ungleichung nach x auflöse und $\begin{eqnarray} x\geq0 \end{eqnarray}$ rausbekomme? Danke schonmal vorweg ^^
19.02.2007, 16:30	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Klasse bist du? Wenn du schon differenzieren kannst ist die Aufgabe ganz einfach. Man betrachte einfach die Funktion: $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x} \end{eqnarray}$ Dann ist die zu beweisende Aussage: $\begin{eqnarray} f(x)>f(x+1) \end{eqnarray}$ Und das wäre bei einer streng monton fallenden Funktion der Fall.
19.02.2007, 16:40	Marsmongo	Auf diesen Beitrag antworten »
bin Klasse 13 und das was du sagst kommt mir auch irgendwie bekannt vor. D.h. ich müsste im Grunde die Monotonie der beiden Funktionen beweisen, oder? Wie geht das denn nochmal gleich? Die Ableitung darf keine Nullstellen haben und muss negativ sein, oder? Wenn du mir das noch schnell schreiben würdest wär ich dir super dankbar ^^. Mein Gott, da stand ich jetz aber auf dem Schlauch (nun ja meine Freundin ist 2 jahre jünger, die hat sicherlich noch nie differenziert ^^, vll deshalb) Danke schonmal vorweg ^^
19.02.2007, 16:42	Marsmongo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok 1x monotonie beweisen würde reichen fällt mir gerade auf xDDD ich sollte vll erstmal denken bevor ich poste, muss jetz erstmal weg mathe nachhilfe geben ^^''
19.02.2007, 19:29	Marsmongo	Auf diesen Beitrag antworten »
OK ^^ ich glaube ich habs, ich poste mal die Lösung hierhin... Danke Sciencefreak für den Ansatz ^^ Aufgabe: Beweise: $\begin{eqnarray} \sqrt{x+1}-\sqrt{x}>\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1} \end{eqnarray}$ Ansatz: $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)>f(x+1) \end{eqnarray}$ gilt für streng monoton fallende Funktionen Annahme: $\begin{eqnarray} f(x)^\prime<0 \end{eqnarray}$ Definitionsbereich: $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R}_0^+ \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} \frac1{\sqrt{x+1}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)^\prime={\frac 1 {2\sqrt{x+1}}}-{\frac 1 {2\sqrt{x+1}} \end{eqnarray}$
19.02.2007, 19:39	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein kleiner Fehler steckt in demLatexausdruck den du uns hier unterschlagen hast, indem du eine Klammer zu viel gesetzt hast Das stand bei dir: $\begin{eqnarray} f(x)^\prime={\frac 1 {2\sqrt{x+1}}}-\frac {1} {2\sqrt{x+1}} \end{eqnarray}$ Gemeint hast du bstimmt: $\begin{eqnarray} f(x)^\prime={\frac 1 {2\sqrt{x+1}}}-\frac {1} {2\sqrt{x}} \end{eqnarray}$
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19.02.2007, 19:44	Marsmongo	Auf diesen Beitrag antworten »
wtf sorry für doppelpost hab statt vorschau antwort erstellen geklickt OK ^^ ich glaube ich habs, ich poste mal die Lösung hierhin... Danke Sciencefreak für den Ansatz ^^ Aufgabe: Beweise: $\begin{eqnarray} \sqrt{x+1}-\sqrt{x}>\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1} \end{eqnarray}$ Ansatz: $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)>f(x+1) \end{eqnarray}$ gilt für streng monoton fallende Funktionen Annahme: $\begin{eqnarray} f(x)^\prime<0 \end{eqnarray}$ Definitionsbereich: $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R}_0^+ \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} f(x)^\prime=\frac1{2\sqrt{x+1}}-\frac1{2\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)^\prime=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{x}-\sqrt{x+1}<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{x}<\sqrt{x+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<x+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0<1 \end{eqnarray}$ (q.e.d.) So, das wäre jetz mein Beweis über die Monotonie ^^. Problem ist jetz nur, dass meine Freundin gerade angerufen hat und mit diesem Beweis hier auf Monotonie hinauswollte, also die eigentlich Aufgabe war sozusagen folgende: Untersuche auf Monotonie und Schranken: $\begin{eqnarray} a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \end{eqnarray}$ Die Frage wäre jetz wie untersuche ich eine solche Funktion auf Monotonie ohne sie abzuleiten? ^^''
19.02.2007, 19:45	Marsmongo	Auf diesen Beitrag antworten »
jo sorry hab das noch nie mit latex gemacht, versuche mich aber, da die user hier offensichtlich sehr verärgert sind wenn man ohne latex arbeitet da durchzuwurschteln ^^
19.02.2007, 20:01	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum kann man bei einer Monotonieuntersuchung keine Ableitung verwenden? Auch wenn die Folge nur über den natürlichen Zahlen definiert ist, hat sie auch die eigenschaften der auf die reelen Zahlen erweiterten Funktion Edit:Man sollte es vielleicht dann nicht mehr Folge nennen. Edit2: Ich finde es übrigens sehr viel besser, wenn man sich wenigsens in Latex versucht, denn deine Formel konnte man wenigstens eindeutig erkennen auch wenn sie einen Darstellungsfehler provoziert hat
19.02.2007, 20:14	Marsmongo	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil meine Freundin leider noch nie etwas von Differentialrechnung gehört hat und die Aufgabe demzufolge auch ohne lösbar sein sollte q.q Ihr Ansatz war folgender: Wenn $\begin{eqnarray} \sqrt{n+1} -\sqrt{n} > \sqrt{n+2}-\sqrt{n+1} \end{eqnarray}$ dann ist die Funktion streng monoton fallend, was ja auch anschaulich so ist, aber das sollte man natürlich beweisen ^^'' womit wir meiner Meinung nach wieder beim lösen der Ungleichung wären, was wieder durch mehrmaliges quadrieren ablaufen sollte... Aber beim quadrieren kommt halt irgendwo nen absolutes Glied rein, was ja irgendwo nicht sein kann, da die Lösungsmenge ja $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{N}_0^+ \end{eqnarray}$ ist
19.02.2007, 20:16	Marsmongo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok xD wieder nen Fehler gemacht, ich glaube ich sollte mich registrieren damit ich editieren kann natürlich reicht $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$
19.02.2007, 21:00	Marsmongo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es jetzt mal stupide durchgerechnet und es kommt glücklicherweise auch raus <3 Beweise: $\begin{eqnarray} \sqrt{n+1}-\sqrt{n}>\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{n+2}+\sqrt{n}<2\sqrt{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{n^2+2n}<n+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^2+2n<n^2+2n+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 < 1 \end{eqnarray}$ (q.e.d.) Was auch immer ich beim ersten durchrechnen falsch gemacht habe, das war doch im Grunde sehr einfach xDD Die Frage hat sich damit ja erledigt ^^ Danke nochmal Sciencefreak ^^

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