Satz von Stokes: Schnittfläche

28.02.2013, 11:32	gast12222	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Stokes: Schnittfläche Meine Frage: Bei folgender Aufgabe bin ich nicht sicher ob ich richtig parametrisiert habe: Durch V(x, y, z) = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x^3+ y^2z +3 \\ 2xyz +1\\ e^z cos z\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sei ein Vektorfeld V : R3 -> R3 gegeben. Berechnen Sie das Wegintegral $\begin{eqnarray} \int_K \! V \, dX \end{eqnarray}$ mit Hilfe des Satzes von Stokes, wobei K die Schnittkurve des Zylinders { $\begin{eqnarray} (x, y, z) \in R³ :x² + y² = 4 \end{eqnarray}$ } mit der Ebene { $\begin{eqnarray} (x, y, z)\in R³ : -3x + 2y + z = 1 \end{eqnarray}$ } ist. Die Orientierung der Kurve sei wie in der Skizze. Hinweis: Falls Sie die Polarkoordinaten benutzen möchten, könnten die Formeln $\begin{eqnarray} sin(2\alpha)=2sin(\alpha)cos(\alpha) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} sin(\alpha)^2=\frac{1-cos(2\alpha)}{2} \end{eqnarray}$ nützlich sein. Meine Ideen: Lösungsweg und Skizze sind im Anhang, wo ich mir unsicher bin ist, ob ich richtig parametrisiert habe
28.02.2013, 13:50	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo gast1222, deine Frage, ob die Parametrisierung stimmt, ist schwer zu beantworten, weil du noch überhaupt keine Parametrisierung gemacht hast Dein Ergebnis ist jedenfalls aus diesem Grund noch falsch. Du hast für das Flächenelement einfach angenommen, dass $\begin{eqnarray} d\sigma=drd\phi \end{eqnarray}$ gilt, was aber falsch ist! Richtig ist $\begin{eqnarray} d\sigma=\|\|F_r\times F_{\phi}\|\|drd\phi \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} F(r,\phi) \end{eqnarray}$ die Parametrisierung der Schnittfläche Ebene-Zylinder ist (siehe deine Skizze). Das wäre also noch zu berechnen und dein Ansatz müsste entsprechend korrigiert werden. Viele Grüße, Dustin
28.02.2013, 20:36	gast1222	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mit dem Parametrisieren tu ich mich noch schwer, wie bestimmt man den im Allgemeinen die Parametrisierung einer Kurve oder eines Flächenstücks ??? Vor allem bei der Bestimmung der Grenzen tu ich mich manchmal ziemlich schwer mit. Bei der Aufgabe jetzt hat man ja noch das z drin, wie wird man das los ?
28.02.2013, 21:02	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Grenzen $\begin{eqnarray} r\in [0;2], \phi \in [0;2\pi] \end{eqnarray}$ sind völlig richtig. Nur die Parametrisierung fehlt eben. z bekommst du, indem du die Ebenengleichung nach z auflöst: $\begin{eqnarray} z=1+3x-2y=1+3r\cos(\phi)-2r\sin(\phi) \end{eqnarray}$ Damit lautet die Parametrisierung der Schnittfläche $\begin{eqnarray} F(r,\phi)=\begin{pmatrix} r\cos(\phi) \\ r\sin(\phi) \\1+3r\cos(\phi)-2r\sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit kannst du jetzt das Flächenelement berechnen. Kontrollhilfe: $\begin{eqnarray} d\sigma=\sqrt{14}rdrd\phi \end{eqnarray}$
28.02.2013, 22:34	gast12222	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, hab ich jetzt auch raus, d.h. Endergebnis müsste 8 pi sein, weil Integral noch ein Faktor r bekommt und die Wurzelausdrücke sich kürzen. Danke sehr !
28.02.2013, 23:02	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Büdde
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07.03.2015, 14:34	gast2224535	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekturfaktor Hallo, wie kommt man denn auf den Korrekturfaktor von Wurzel 14? Dankeschön!

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