Vollständige Induktion Determinante

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MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Determinante
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle gilt



IA: für gilt:



IV: für alle gelte:



IS:



An dieser Stelle komme ich nun nicht weiter? Wie komme ich von der ursprünglichen Matrix auf die n+1-Matrix? Ist der Lösungsweg so überhaupt richtig?
Für Hilfe vielen Dank

LG
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Was du im Induktionsschritt anstellst, weiß ich nicht.
Stattdessen solltest du die Determinante nach Laplace entwickeln.
 
 
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Ja hatte ich erst vor, aber ich soll es doch mit Induktion zeigen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Ja. Und im Iduktionsschritt benutzt du die Entwicklung nach Laplace Augenzwinkern
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Ah danke, dann versuch ich das mal!
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante


Hm, stimmt der Ansatz?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Jein.
Eigentlich schon, aber erstens hast du und nicht erklärt, zweitens hätte ich eher nach der ersten Zeile entwickelt, damit man am Ende eine schönere Form hat.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Ja stimmt, ist sinnvoller, jetzt kann man beliebig oft entwickeln, sodass am Ende bleibt:

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Nein, nicht beliebig oft.
Erst entwickelst du einmal und kannst die Induktionsvoraussetzung anwenden. Zur Bestimmung der zweiten auftretenden Determinante kannst du nochmals nach Laplace entwickeln.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Achso klar! Okay moment!
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante


IS: n+1:



Wars das dann schon?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Bei der Entwicklung nach der ersten Zeile ist aber verloren gegangen.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Aber durch den IS mit n+1 wurde zu
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Trotzdem: Wenn du mit Laplace nach einer Zeile entwickelst, in der zwei Elemente ungleich Null sind, sollten auch zwei Determinanten auftauchen.

Und im Ergebnis fehlt ja auch .
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Ach klar, das hab ich jetzt vergessen! Ich bessere aus
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante


IS:



So müsste es jetzt passen, aber wie weiß ich welche Zahl jetzt in das ? eingesetzt werden muss? Und wie beweise ich, dass
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Statt ? kannst du schreiben.
Und für die letzte Determinante kannst du nochmals nach Laplace entwickeln..
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Ah dadurch wechselt auch das Vorzeichen bei (-1) mit jedem weiteren n!

Aber nach welcher Zeile muss ich entwickeln?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Entwickle lieber nach einer Spalte.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Meine ich ja, also nach der 1.? in der c_n+1 steht?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Ja, natürlich Augenzwinkern
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Inudktion Determinante
Dann wäre die Antwort:




Gut dann habe ich es jetzt verstanden! Bedanke mich rechtherzlich!smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Determinante
Einfacher, wenn ich mir die Bemerkung erlauben darf - und dann fast im Kopf zu rechnen - wäre das Ganze wohl, wenn man zunächst die Linearität der Determinantenfunktion im ersten Zeilenvektoren ausnutzt, nämlich


wonach man dann die erste Determinante nach der ersten Zeile entwickelt und darauf die die Induktionsannahme anwendet, während man für die 2. Determinante eine "verllgemeinerte Regel von Sarrus" anwenden kann, wo aber nur ein "Pfad" ein ev. von 0 verschiedenes Ergebnis liefert...
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Determinante
Ich habe garnicht gewusst, dass das auch so funktioniert, aber das ist mir gerade etwas zu kompliziert, aber Danke für deine Antwortsmile
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Determinante


IS:

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Determinante
In der ersten Zeile hätte stehen, in der zweiten stimmt es wieder.
Bei der zweiten Entwicklung hast du aber den Faktor und .
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Determinante
Danke schön, ausgebessert und verstanden!smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Determinante
Die "verallgemeinerte Regel von Sarrus" (eigene Wortschöpfung Big Laugh ) geht allgemein für eine (nxn)-Matrix so



Wenn man sie hier auf



anwendet, sieht man, dass nur das einzige Pfad, der durch die Permutation (in Zyklenschreibweise) gegeben ist, ein von 0 verschiedenes Produkt, nämlich liefert, und zwar mit negativem Vorzeichen, wegen ... Damit sollte dann alles klar sein... Augenzwinkern
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Determinante
Zitat:
Original von Mystic
Die "verallgemeinerte Regel von Sarrus" (eigene Wortschöpfung Big Laugh )

Kenne ich als Leibniz-Formel Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde diese Lösung ziemlich umständlich. Man kann ja einfach eine obere Dreiecksmatrix herstellen, indem man das -fache der vorletzten, das -fache der drittletzen usw. bis schließlich das -fache der ersten Zeile von der letzten subtrahiert.
Und wenn die Aufgabenstellung unbedingt Induktion verlangt, subtrahiere man zunächst das -fache der ersten Zeile von der letzten und entwickle dann nach der ersten Spalte. Damit hat man die Dimension schon einmal um 1 erniedrigt. Dann verwende man die Linearität der Determinanten in der letzten Spalte. Man kann so die Determinante als Summe zweier Determinanten schreiben. Auf den einen Summanden kann man die Induktionsvoraussetzung anwenden, der andere ist die Determinante einer unteren Dreiecksmatrix mit dem Element unten rechts in der Diagonalen und Einsen sonst.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ich finde diese Lösung ziemlich umständlich.

Es ist nicht ganz klar, auf welche Lösungsvariante du dich da beziehst... Auf meine? verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eher auf das:

Zitat:
Original von MatheNoobii
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass ...


Nichts gegen Induktion. Aber hier wirkt das irgendwie zwanghaft.
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