Vollständige Induktion Determinante

28.02.2013, 16:58

MatheNoobii

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Vollständige Induktion Determinante

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 & b_n \\ 0 & 1 & ... & 0 & b_{n-1} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 & b_2 \\ c_n & c_{n-1} & ... & c_2 & 1 \end{pmatrix} = 1 -b_2c_2-...-b_nc_n. \end{eqnarray*}$

IA: für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} 1& b_2 \\ c_2 & 1\end{pmatrix} = 1 -b_2c_2 \end{eqnarray*}$

IV: für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gelte:

$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 & b_n \\ 0 & 1 & ... & 0 & b_{n-1} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 & b_2 \\ c_n & c_{n-1} & ... & c_2 & 1 \end{pmatrix} = 1 -b_2c_2-...-b_nc_n. \end{eqnarray*}$

IS:

$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 & b_{n+1} \\ 0 & 1 & ... & 0 & b_n \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 & b_2 \\ c_{n+1} & c_n& ... & c_2 & 1 \end{pmatrix} = det \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 & b_n \\ 0 & 1 & ... & 0 & b_{n-1} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 & b_2 \\ c_n & c_{n-1} & ... & c_2 & 1 \end{pmatrix} \cdot ???<br /> <br /> <br /> = 1 -b_2c_2-...- -b_nc_n-b_{n+1}c_{n+1} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle komme ich nun nicht weiter? Wie komme ich von der ursprünglichen Matrix auf die n+1-Matrix? Ist der Lösungsweg so überhaupt richtig?
Für Hilfe vielen Dank

LG

28.02.2013, 17:02

Che Netzer

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Was du im Induktionsschritt anstellst, weiß ich nicht.
Stattdessen solltest du die Determinante nach Laplace entwickeln.

28.02.2013, 17:08

MatheNoobii

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Ja hatte ich erst vor, aber ich soll es doch mit Induktion zeigen?

28.02.2013, 17:09

Che Netzer

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Ja. Und im Iduktionsschritt benutzt du die Entwicklung nach Laplace Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.02.2013, 17:12

MatheNoobii

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Ah danke, dann versuch ich das mal!

28.02.2013, 17:22

MatheNoobii

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 & b_n \\ 0 & 1 & ... & 0 & b_{n-1} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 & b_2 \\ c_n & c_{n-1} & ... & c_2 & 1 \end{pmatrix} = (-1)^{i+j} \cdot det \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 & b_n \\ 0 & 1 & ... & 0 & b_{n-1} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 0 & b_3 \\ c_n & c_{n-1} & ... & c_3 & 1 \end{pmatrix} + b_2 \cdot (-1)^{i+j} \cdot det \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 0 \\ c_n & c_{n-1} & ... & c_2 \end{pmatrix} = \end{eqnarray*}$

Hm, stimmt der Ansatz?

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28.02.2013, 17:24

Che Netzer

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Jein.
Eigentlich schon, aber erstens hast du $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ nicht erklärt, zweitens hätte ich eher nach der ersten Zeile entwickelt, damit man am Ende eine schönere Form hat.

28.02.2013, 17:42

MatheNoobii

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Ja stimmt, ist sinnvoller, jetzt kann man beliebig oft entwickeln, sodass am Ende bleibt:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{1+1} det \begin{pmatrix} 1 & b_2 \\ c_2 & 1 \end{pmatrix} + b_3 \cdot (-1)^{1+3} det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ c_3 & c_2 \end{pmatrix} + b_4 \cdot (-1)^{1+4} det \begin{pmatrix} 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ c_4& c_3 & c_2 \end{pmatrix}+ ... \end{eqnarray*}$

28.02.2013, 17:57

Che Netzer

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Nein, nicht beliebig oft.
Erst entwickelst du einmal und kannst die Induktionsvoraussetzung anwenden. Zur Bestimmung der zweiten auftretenden Determinante kannst du nochmals nach Laplace entwickeln.

28.02.2013, 17:58

MatheNoobii

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Achso klar! Okay moment!

28.02.2013, 18:05

MatheNoobii

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 & b_n \\ 0 & 1 & ... & 0 & b_{n-1} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 & b_2 \\ c_n & c_{n-1} & ... & c_2 & 1 \end{pmatrix} = (-1)^{1+1} \cdot det \begin{pmatrix} & 1 & ... & 0 & b_{n-1} \\ & ... & ... & ... & ... \\ & 0 & ... & 1 & b_2 \\ & c_{n-1} & ... & c_2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

IS: n+1:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{1+1} \cdot det \begin{pmatrix} & 1 & ... & 0 & b_n \\ & ... & ... & ... & ... \\ & 0 & ... & 1 & b_2 \\ & c_n & ... & c_2 & 1 \end{pmatrix} =(IV) 1 \cdot 1 -b_2c_2-...-b_nc_n \end{eqnarray*}$

Wars das dann schon?

28.02.2013, 18:08

Che Netzer

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Bei der Entwicklung nach der ersten Zeile ist aber $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ verloren gegangen.

28.02.2013, 18:09

MatheNoobii

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Aber durch den IS mit n+1 wurde $\begin{eqnarray*} b_{n-1} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$

28.02.2013, 18:12

Che Netzer

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Trotzdem: Wenn du mit Laplace nach einer Zeile entwickelst, in der zwei Elemente ungleich Null sind, sollten auch zwei Determinanten auftauchen.

Und im Ergebnis fehlt ja auch $\begin{eqnarray*} b_{n+1}c_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

28.02.2013, 18:14

MatheNoobii

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Ach klar, das hab ich jetzt vergessen! Ich bessere aus

28.02.2013, 18:26

MatheNoobii

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 & b_n \\ 0 & 1 & ... & 0 & b_{n-1} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 & b_2 \\ c_n & c_{n-1} & ... & c_2 & 1 \end{pmatrix} = (-1)^{1+1} \cdot det \begin{pmatrix} & 1 & ... & 0 & b_{n-1} \\ & ... & ... & ... & ... \\ & 0 & ... & 1 & b_2 \\ & c_{n-1} & ... & c_2 & 1 \end{pmatrix} + b_n \cdot (-1)^{1+?} \cdot det \begin{pmatrix} 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \\ c_n & c_{n-1} & ... & c_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

IS:

$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} & 1 & ... & 0 & b_n \\ & ... & ... & ... & ... \\ & 0 & ... & 1 & b_2 \\ & c_n & ... & c_2 & 1 \end{pmatrix} + b_{n+1} \cdot (-1)^{1+?} \cdot det \begin{pmatrix} 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \\ c_{n+1} & c_n & ... & c_2 \end{pmatrix} =(IV) 1-b_2c_2-...-b_nc_n + b_{n+1} \cdot (-1)^{1+?} \cdot det \begin{pmatrix} 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \\ c_{n+1} & c_n & ... & c_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So müsste es jetzt passen, aber wie weiß ich welche Zahl jetzt in das ? eingesetzt werden muss? Und wie beweise ich, dass $\begin{eqnarray*} det\begin{pmatrix} 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \\ c_{n+1} & c_n & ... & c_2 \end{pmatrix}= c_{n+1} \end{eqnarray*}$

28.02.2013, 18:32

Che Netzer

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Statt ? kannst du $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ schreiben.
Und für die letzte Determinante kannst du nochmals nach Laplace entwickeln..

28.02.2013, 18:38

MatheNoobii

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Ah dadurch wechselt auch das Vorzeichen bei (-1) mit jedem weiteren n!

Aber nach welcher Zeile muss ich entwickeln?

28.02.2013, 18:39

Che Netzer

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Entwickle lieber nach einer Spalte.

28.02.2013, 18:40

MatheNoobii

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Meine ich ja, also nach der 1.? in der c_n+1 steht?

28.02.2013, 18:41

Che Netzer

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Ja, natürlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.02.2013, 18:43

MatheNoobii

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RE: Vollständige Inudktion Determinante
Dann wäre die Antwort:

$\begin{eqnarray*} c_{n+1} \cdot (-1)^{1+n+1} \cdot det\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = c_{n+1} \cdot (-1)^{1+n+1}<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Gut dann habe ich es jetzt verstanden! Bedanke mich rechtherzlich! smile

smile

01.03.2013, 08:12

Mystic

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RE: Vollständige Induktion Determinante
Einfacher, wenn ich mir die Bemerkung erlauben darf - und dann fast im Kopf zu rechnen - wäre das Ganze wohl, wenn man zunächst die Linearität der Determinantenfunktion im ersten Zeilenvektoren ausnutzt, nämlich
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & ... & 0 & b_n \\ 0 & 1 & ... & 0 & b_{n-1} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 & b_2 \\ c_n & c_{n-1} & ... & c_2 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 & b_{n-1} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 & b_2 \\ c_n & c_{n-1} & ... & c_2 & 1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0& 0 & ... & 0 & b_n \\ 0 & 1 & ... & 0 & b_{n-1} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 & b_2 \\ c_n & c_{n-1} & ... & c_2 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

wonach man dann die erste Determinante nach der ersten Zeile entwickelt und darauf die die Induktionsannahme anwendet, während man für die 2. Determinante eine "verllgemeinerte Regel von Sarrus" anwenden kann, wo aber nur ein "Pfad" ein ev. von 0 verschiedenes Ergebnis liefert...

01.03.2013, 14:29

MatheNoobii

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RE: Vollständige Induktion Determinante
Ich habe garnicht gewusst, dass das auch so funktioniert, aber das ist mir gerade etwas zu kompliziert, aber Danke für deine Antwort smile

smile

01.03.2013, 15:22

MatheNoobii

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RE: Vollständige Induktion Determinante
$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 & b_n \\ 0 & 1 & ... & 0 & b_{n-1} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 & b_2 \\ c_n & c_{n-1} & ... & c_2 & 1 \end{pmatrix} = (-1)^{1+1} \cdot det \begin{pmatrix} & 1 & ... & 0 & b_{n-1} \\ & ... & ... & ... & ... \\ & 0 & ... & 1 & b_2 \\ & c_{n-1} & ... & c_2 & 1 \end{pmatrix} + b_n \cdot (-1)^{1+n} \cdot det \begin{pmatrix} 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \\ c_n & c_{n-1} & ... & c_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

IS:

$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} & 1 & ... & 0 & b_n \\ & ... & ... & ... & ... \\ & 0 & ... & 1 & b_2 \\ & c_n & ... & c_2 & 1 \end{pmatrix} + b_{n+1} \cdot (-1)^{1+n} \cdot det \begin{pmatrix} 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \\ c_{n+1} & c_n & ... & c_2 \end{pmatrix} =<br /> \\=(IV) 1-b_2c_2-...-b_nc_n + b_{n+1} \cdot (-1)^{1+n+1} \cdot det \begin{pmatrix} 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \\ c_{n+1} & c_n & ... & c_2 \end{pmatrix} =<br /> \\ = 1-b_2c_2-...-b_nc_n + b_{n+1} \cdot (-1)^{1+n} \cdot c_{n+1} \cdot (-1)^{1+n+1} \cdot det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} =<br /> \\ 1-b_2c_2-...-b_nc_n + b_{n+1} \cdot (-1)^{1+n} \cdot c_{n+1} \cdot (-1)^{1+n+1} \cdot 1= 1-b_2c_2-...-b_nc_n - b_{n+1} \cdot c_{n+1} \end{eqnarray*}$

01.03.2013, 15:27

Che Netzer

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RE: Vollständige Induktion Determinante
In der ersten Zeile hätte $\begin{eqnarray*} (-1)^{1+n} \end{eqnarray*}$ stehen, in der zweiten stimmt es wieder.
Bei der zweiten Entwicklung hast du aber den Faktor $\begin{eqnarray*} (-1)^{1+n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-1)^{1+n+1}(-1)^{1+n}=-1 \end{eqnarray*}$ .

01.03.2013, 15:38

MatheNoobii

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RE: Vollständige Induktion Determinante
Danke schön, ausgebessert und verstanden! smile

smile

01.03.2013, 23:16

Mystic

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RE: Vollständige Induktion Determinante
Die "verallgemeinerte Regel von Sarrus" (eigene Wortschöpfung Big Laugh

Big Laugh

) geht allgemein für eine (nxn)-Matrix $\begin{eqnarray*} A=(a_ij) \end{eqnarray*}$ so

$\begin{eqnarray*} |A|=\sum_{\pi \in S_n} sign(\pi) a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\ldots a_{n\pi(n)} \end{eqnarray*}$

Wenn man sie hier auf

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0& 0 & ... & 0 & b_n \\ 0 & 1 & ... & 0 & b_{n-1} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 & b_2 \\ c_n & c_{n-1} & ... & c_2 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

anwendet, sieht man, dass nur das einzige Pfad, der durch die Permutation $\begin{eqnarray*} \pi=(1n) \end{eqnarray*}$ (in Zyklenschreibweise) gegeben ist, ein von 0 verschiedenes Produkt, nämlich $\begin{eqnarray*} b_nc_n \end{eqnarray*}$ liefert, und zwar mit negativem Vorzeichen, wegen $\begin{eqnarray*} sign \pi = -1 \end{eqnarray*}$ ... Damit sollte dann alles klar sein... Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.03.2013, 23:34

Che Netzer

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RE: Vollständige Induktion Determinante

Zitat:

Original von Mystic
Die "verallgemeinerte Regel von Sarrus" (eigene Wortschöpfung Big Laugh

Big Laugh

)

Kenne ich als Leibniz-Formel Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.03.2013, 18:41

Leopold

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Ich finde diese Lösung ziemlich umständlich. Man kann ja einfach eine obere Dreiecksmatrix herstellen, indem man das $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ -fache der vorletzten, das $\begin{eqnarray*} c_3 \end{eqnarray*}$ -fache der drittletzen usw. bis schließlich das $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ -fache der ersten Zeile von der letzten subtrahiert.
Und wenn die Aufgabenstellung unbedingt Induktion verlangt, subtrahiere man zunächst das $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ -fache der ersten Zeile von der letzten und entwickle dann nach der ersten Spalte. Damit hat man die Dimension schon einmal um 1 erniedrigt. Dann verwende man die Linearität der Determinanten in der letzten Spalte. Man kann so die Determinante als Summe zweier Determinanten schreiben. Auf den einen Summanden kann man die Induktionsvoraussetzung anwenden, der andere ist die Determinante einer unteren Dreiecksmatrix mit dem Element $\begin{eqnarray*} -b_n c_n \end{eqnarray*}$ unten rechts in der Diagonalen und Einsen sonst.

03.03.2013, 21:48

Mystic

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Zitat:

Original von Leopold
Ich finde diese Lösung ziemlich umständlich.

Es ist nicht ganz klar, auf welche Lösungsvariante du dich da beziehst... Auf meine? verwirrt

verwirrt

04.03.2013, 07:01

Leopold

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Eher auf das:

Zitat:

Original von MatheNoobii
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass ...

Nichts gegen Induktion. Aber hier wirkt das irgendwie zwanghaft.

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