Dichte

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Fujitaro Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte
Meine Frage:
Es sei X~Exp(lambda) und h(x):=[x] (Gaussklammerfunktion). Dann hat Y:=h(X) die Zähldichte

Meine Ideen:
Ich kann das leider überhaupt nicht nachvollziehen. h(X) müsste ja eine Treppenfunktion sein und diese ist stückweise stetig, also handelt es sich um eine stetige Verteilungsfunktion und die Dichte müsste doch die Funktion sein, über die ich integriere, oder? Aber weiter weiß ich nicht
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fujitaro
h(X) müsste ja eine Treppenfunktion sein und diese ist stückweise stetig, also handelt es sich um eine stetige Verteilungsfunktion

Das ist von vorn bis hinten grober Unfug:

Erstens ist keine Treppenfunktion, sondern eine Zufallsgröße - womöglich sprichst du über deren Verteilungsfunktion , die ist tatsächlich eine Treppenfunktion.

Zweitens ist eine Treppenfunktion zwar stückweise stetig, aber nicht global - ganz im Gegenteil, sie weist immer Sprungstellen auf! Und damit ist sie nicht Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße, es gibt keine Dichte usw.

Nein, tatsächlich ist sie dann Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße.

------------------------------------------------------------------------------------------

Gemäß seiner Definition mit Hilfe der Gaußklammer ist offensichtlich eine Zufallsgröße, die nur ganzzahlige Werte annehmen kann, damit muss eine diskrete Zufallsgröße sein, ganz egal, die aussieht!!!

Überleg dir doch einfach mal, wie das Ereignis auf zurückzuführen ist: Offenbar ist für ganzzahlige gleichbedeutend mit , d.h. es ist



Bisher spielte die Verteilung von noch gar keine Rolle, jetzt erst kommt sie ins Spiel: Für stetig verteilte kann man dann nämlich weiter folgern

,

jetzt musst du nur noch die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung einsetzen, und bist fertig.
Fujitaro Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, das ist eine sehr verständliche Erklärung! Ich habe nicht erwartet, eine solch ausführliche Antwort zu erhalten. Danke Dir Augenzwinkern

Ich setze nun fort: Es gilt
Analoge Rechnung für . Also:
.
Der zweite Fall, nämlich dass die Zähldichte gleich null ist für Werte nicht aus ergibt sich, weil die ZG hier keine Werte annimmt.
Die Rechnungen sind einfach, jedoch habe ich arge Verständnisschwierigkeiten.

P.S.: In der vorletzten Zeile muss es ebenfalls heißen Teufel
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fujitaro
P.S.: In der vorletzten Zeile muss es ebenfalls heißen Teufel

Wenn du damit sagen willst, dass ich mich da vielleicht verschrieben habe, dann irrst du: Es war genauso gemeint, also . Augenzwinkern
Fujitaro Auf diesen Beitrag antworten »

Dann frage ich mich, woran das liegt, weil zwei Zeilen zuvor hieß es noch P(y<=X<y+1), was für mich nachvollziehbar ist. Das ist der Abrundungsfunktion verschuldet. Jetzt habe ich in meinen Unterlagen die Definition für eindimensionale Verteilungsfunktionen gesucht und folgendes gefunden:
Ist das der Grund? Ausserdem weiß ich, dass es für das Integral keinen Unterschied macht, ob ich einen Punkt herausnehme oder hinzufüge, aber es scheint,dass der Wechsel der Ungleichheitszeichen von dir bewusst gewählt worden zu sein
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fujitaro
Ist das der Grund?

Genau das ist der Grund, und wegen

Zitat:
Original von Fujitaro
Ausserdem weiß ich, dass es für das Integral keinen Unterschied macht, ob ich einen Punkt herausnehme oder hinzufüge, aber es scheint,dass der Wechsel der Ungleichheitszeichen von dir bewusst gewählt worden zu sein

macht es in der Wahrscheinlichkeit keinen Unterschied, konkret

 
 
Fujitaro Auf diesen Beitrag antworten »

Super, alles geklärt. DankeAugenzwinkern
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