DGL Linearisierung durch Substitution

01.03.2013, 08:41	lars_p200	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL Linearisierung durch Substitution Hallo liebe Bordgemeinde! Ich habe folgendes Problem. Ich habe folgende DGL 1.Ordnung: y'(x) +1/xy(x) = (y(x))^31/x*ln(Sqrt[x^2]) Es soll zunächst gezeigt werden, dass sich diese DGL mittels folgender Substitution in eine lineare DGL überführen lässt: z(x) = (y(x))^(1-n) Anschliessend soll die DGL einmal mit DSolve in Mathematica direkt sowie auch die linearisierte DGL gelöst werden. Ich bin wie folgt vorgegangen: ich habe z(x) nach y aufgelöst und abgeleitet. Diese Funktion hab ich dann einmal für y'(x) und für y(x) in die DGL substituiert. Ab da weis ich allerdings nicht weiter. Wie wähle ich z.B. n aus? Ich erhalte nach der Substitution keine DGL mehr, sprich ich habe keine Ableitungsfunktionen mehr?? Wie soll ich vorgehen? Wie ist diese Aufgabe zu lösen? Ich stehe völlig aufn Schlauch. Währe echt klasse wenn mir hier jemand helfen könnte!!! Schonmal schönen Dank Lars
01.03.2013, 09:09	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y'(x) +\frac{y}{x} = y^3\frac{\ln(\sqrt{x^2})}{x} \end{eqnarray}$ Dies ist eine Bernoulli-DGl. Entsprechend ist auch das n zu wählen.
01.03.2013, 10:19	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine sog. Bernoullische Dgl der Form $\begin{eqnarray} y'=f(x)\cdot y+g(x)\cdot y^n \end{eqnarray}$ Die spezielle Form der Funktionen f, g kannst du aus deiner Dgl. ablesen. Diese Dgl. lässt sich allgemein mit folgender Transformation linearisieren $\begin{eqnarray} z(x)=y^{1-n} \end{eqnarray}$ Dabei ist z(x) die neue unbekannte Funktion anstelle von y(x). Differenzieren mittels Kettenregel liefert $\begin{eqnarray} z'=(1-n)y'y^{-n} \end{eqnarray}$ oder umgestellt $\begin{eqnarray} y'=\tfrac{1}{1-n}z'y^n \end{eqnarray}$ Setzt man dies sowie die umgestellte Transformation $\begin{eqnarray} y=zy^n \end{eqnarray}$ in die Dgl. ein, ergibt sich $\begin{eqnarray} \underbrace{\tfrac{1}{1-n}z'y^n}_{y'}=f(x)\cdot \underbrace{zy^n}_y+g(x)\cdot y^n \end{eqnarray}$ Multiplikation mit $\begin{eqnarray} (1-n)y^{-n} \end{eqnarray}$ ergibt eine lineare Dgl. für die Funktion z(x) $\begin{eqnarray} z'=(1-n)\cdot f(x)\cdot z+(1-n)\cdot g(x) \end{eqnarray}$

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