Alle Summanden konvergieren gegen Null. Konvergiert Summe?

01.03.2013, 15:52

r4ndom19

Alle Summanden konvergieren gegen Null. Konvergiert Summe?

Hallo,

konvergiert eine Reihe, falls alle Summanden gegen Null konvergieren? Also wirklich alle (nicht wie bei der harm. Reihe).
Und wieso ist das so bzw. mit welchem Kriterium beweist man dies am besten, falls es stimmt.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n} \end{eqnarray*}$
Für k fest und n gegen unendlich.

01.03.2013, 15:56

Che Netzer

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RE: Alle Summanden konvergieren gegen Null. Konvergiert Summe?
In deinem Beispiel ist $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sicher nicht fest.
Aber du kannst den Grenzwert sehr leicht bestimmen, indem du $\begin{eqnarray*} \frac1n \end{eqnarray*}$ ausklammerst.

01.03.2013, 16:14

r4ndom19

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RE: Alle Summanden konvergieren gegen Null. Konvergiert Summe?
Ok, ich zeige mal den ganzen Hintergrund auf den ich hinaus will. Du erinnerst dich evtl. an meine Aufgabe gestern. Ich versuche immernoch den Lösungsweg aus der Vorlesung zu verstehen. Dabei hatten wir diesen Term und zeigten das er gegen Null konvergiert.

Folgender Term:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n [\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} *\frac{1}{n^k}-\frac{1}{k!} ] \end{eqnarray*}$

Dann wurde gekürzt und 1/k! ausgeklammert. (Und das Summenzeichen vorübergehend ausgeblendet) Die Indizes habe ich nur gemacht um zu zeigen,d ass es sich um insgesamt k "n's" handelt.

$\begin{eqnarray*} \frac{n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*(n-k+1) }{n_{1}*n_{2}...*n_{k}} -1)*\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\prod\limits_{k=0}^{k-1} (\frac{n-i}{n} -1) \frac{1}{k!} => ( k\leq n ): \prod\limits_{k=0}^{k-1} (\frac{n-i}{n} -1) \frac{1}{k!} \leq 0 \end{eqnarray*}$
Für n gegen unendlich und k fest.

Kannst du mir erklären wie dies hier zustande kommt, ich kann dies nämlich nicht nachvollziehen, denn der Gedanke das k fest ist, ist auch in meinen Augen seltsam..

01.03.2013, 16:37

Che Netzer

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RE: Alle Summanden konvergieren gegen Null. Konvergiert Summe?

Zitat:

Original von supromo

$\begin{eqnarray*} =\prod\limits_{k=0}^{k-1} (\frac{n-i}{n} -1) \frac{1}{k!} => ( k\leq n ): \prod\limits_{k=0}^{k-1} (\frac{n-i}{n} -1) \frac{1}{k!} \leq 0 \end{eqnarray*}$

Das solltest du nochmal etwas sauberer aufschreiben...

01.03.2013, 16:51

r4ndom19

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RE: Alle Summanden konvergieren gegen Null. Konvergiert Summe?
Sorry, hier ich hoffe so ist es verständlicher. Und natürlich muss die Variable des Produkts i sein!

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{i=0}^{k-1} (\frac{n-i}{n} -1) \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$
Wegen $\begin{eqnarray*} ( k\leq n ) \end{eqnarray*}$ ist jeder Faktor kleiner oder gleich Null: $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{i=0}^{k-1} (\frac{n-i}{n} -1) \frac{1}{k!} \leq 0 \end{eqnarray*}$

Für n gegen unendlich und k fest folgt, dass das gesamte Produkt gegen Null strebt.

01.03.2013, 16:54

Che Netzer

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RE: Alle Summanden konvergieren gegen Null. Konvergiert Summe?
Wieso das kleiner gleich Null sein soll, ist mir auch nicht ganz klar...

Jedenfalls ist die Aussage, dass dieses Gebilde für jedes $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gegen Null geht.
Ist das verständlich?

01.03.2013, 16:57

r4ndom19

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RE: Alle Summanden konvergieren gegen Null. Konvergiert Summe?

Zitat:

Original von Che Netzer
Wieso das kleiner gleich Null sein soll, ist mir auch nicht ganz klar...

Jedenfalls ist die Aussage, dass dieses Gebilde für jedes $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gegen Null geht.
Ist das verständlich?

Ja, das ist unterm Strich die Aussage. Aber wie kann man hier k fest wählen? k ist ja im Prinzip abhängig von der Summe die von k=0 bis n geht und damit alles andere als fest ist...

01.03.2013, 17:01

Che Netzer

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RE: Alle Summanden konvergieren gegen Null. Konvergiert Summe?
Ja, aber jeder einzelne Summand geht gegen Null, das ist die Aussage.

01.03.2013, 17:03

r4ndom19

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RE: Alle Summanden konvergieren gegen Null. Konvergiert Summe?

Zitat:

Original von Che Netzer
Ja, aber jeder einzelne Summand geht gegen Null, das ist die Aussage.

Aber was ist mit dem letztem Summanden? der letzte Summand ist doch dann gerade n. Damit wäre k=n.

01.03.2013, 17:04

Che Netzer

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RE: Alle Summanden konvergieren gegen Null. Konvergiert Summe?
Es gibt für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ keinen letzten Summanden.

01.03.2013, 17:06

r4ndom19

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RE: Alle Summanden konvergieren gegen Null. Konvergiert Summe?

Zitat:

Original von Che Netzer
Es gibt für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ keinen letzten Summanden.

Ah das ist sehr gut das endlich mal zu wissen Augenzwinkern

Und da jeder Summand gegen Null geht - dann geht die Summe gegen Null? Wie kann man das Begründen?

01.03.2013, 17:11

Che Netzer

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RE: Alle Summanden konvergieren gegen Null. Konvergiert Summe?
Man kann die Summe mit $\begin{eqnarray*} \binom nk=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k>n \end{eqnarray*}$ ins Unendliche fortsetzen. Dann hat man eine konvergente Reihe, deren Summanden alle negativ sind und gegen Null gehen.
Das würde dann implizieren, dass die gesamte Reihe gegen Null geht.

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