Menge aller Randpunkte

Neue Frage »

01.03.2013, 22:43	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
Menge aller Randpunkte Meine Frage: Hallo, ich habe das: \|\|.\|\| ist euklidische Norm auf \mathbb R ^2 X:= {(x,y)\in \mathbb R ^2 :\|\|(x,y)\|\|\leq 1,y\neq 0} Y:=X\cap Q^2 (Rationelle Zahlen) Ich muss Menge aller Randpunkten von X und Y bestimmen. Meine Ideen: Menge aller X ist klar, {(x,y)\in \mathbb R ^2 : x^{2} + y^{2}=1 , x\neq 0} Aber ich habe keine Ahnung wie ich di menge aller Randpunkten von Y machen kann? Kann jemand mir bitte helfen?
01.03.2013, 22:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Die Randpunkte von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ stimmen noch nicht. Mal dir dazu am besten ein Bild auf.
01.03.2013, 23:08	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Stimmt es nicht wegen $\begin{eqnarray} \{(x,y) \in \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ ? Wie soll ich mit den Randpunkten von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ machen?
01.03.2013, 23:32	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Nein, dass $\begin{eqnarray} (x,y)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , stimmt schon. Aber die Anforderungen an die Elemente der Menge sind falsch. Und bevor wir mit $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ weitermachen, solltest du lieber den Rand von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ richtig bestimmen.
02.03.2013, 00:32	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte $\begin{eqnarray} y \neq 0 \end{eqnarray}$ , so y achse gehört nicht zu X, oder? $\begin{eqnarray} \|\|(x,y)\|\| \leq 1 \end{eqnarray}$ ist ein Ball um $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ mit Radius = 1 . Muss ich dann die Randpunkte von X $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 =1 \end{eqnarray}$ in die Linke und Rechte Seite von der y-achse separat schreiben?
02.03.2013, 00:34	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Die ersten Zeilen stimmen bzw. meinen das richtige. Zum Rand von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gehört tatsächlich die Kreislinie, die durch $\begin{eqnarray} x^2+y^2=1 \end{eqnarray}$ beschrieben wird. Es gehört aber noch etwas dazu. Beachte dazu, dass die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ fehlt. Wenn du nur die rechte [Edit: untere] Hälfte betrachten würdest: Welches Streckenstück gehört dann noch zum Rand dieser Hälfte?
Anzeige

02.03.2013, 00:43	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Wäre die Y-Achse. Ist Ok dann wenn ich so schreibe: $\begin{eqnarray} (\{ (x,y) \in \mathbb R^2 : x^2 + y^2 =1 , x \geq 0 \} \cup y ) \bigcup<br /> <br /> (\{ (x,y) \in \mathbb R^2 : x^2 + y^2 =1 , x < 0 \} \cup y )<br /> <br /> \end{eqnarray}$ ?
02.03.2013, 00:47	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Da müsstest du jeweils das $\begin{eqnarray} \cup y \end{eqnarray}$ wegnehmen, das ergibt keinen Sinn. Stattdessen brauchst du das fehlende Streckenstück auf der $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse, das zum Rand gehört. Der Rand setzt sich dann aus der Kreislinie $\begin{eqnarray} x^2+y^2=1 \end{eqnarray}$ und einer Menge der Form $\begin{eqnarray} \{(x,y)\in\mathbb R^2:y=0,x\in[a,b]\} \end{eqnarray}$ zusammen, wobei $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ gerade das Intervall auf der $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse beschreibt, das ich meine. Wie sind dabei $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ zu wählen?
02.03.2013, 00:54	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte $\begin{eqnarray} \{ (x,y) \in \mathbb R^2 : x^2 + y^2 , x \leq 0 \} \cup \{ (x,y) \in \mathbb R^2 : x=0 , y \in [-1,1] \} \end{eqnarray}$ Ist das Richtig für die Linke Seite? Für die Rechte seite soll ich einfach \cup machen? EDIT: $\begin{eqnarray} \{ (x,y) \in \mathbb R^2 : x^2 + y^2 , y \geq 0 \} \cup \{ (x,y) \in \mathbb R^2 : y=0 , x \in [-1,1] \} \end{eqnarray}$ Ist das Richtig für die Obere Seite? Für die Rechte seite soll ich einfach \cup machen?
02.03.2013, 00:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Das sieht ganz gut aus, du scheinst aber den meinen (bereits korrigierten) Tippfehler übernommen zu haben. In der linken Menge brauchst du kein bestimmtes Vorzeichen, da wir am Ende ja die obere und die untere Hälfte betrachten. Und in der zweiten Menge hast du $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ vertauscht. Richtig lautet es $\begin{eqnarray} \{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2=1\}\cup\{(x,y)\in\mathbb R^2:x\in[-1,1],y=0\}\,. \end{eqnarray}$ Edit: Ah, mit deinem Edit sah es sogar noch besser aus. Ja, für die untere Hälfte von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ könntest du das gleiche machen, aber das habe ich dir mal erspart. Ist das soweit klar? Und hast du irgendeine Idee für den Rand von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ ?
02.03.2013, 01:10	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Alles klar jetzt, danke vielmals! I würde sagen den Rand von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ , ist die selbe, aber ohne die Punkte, die aussen von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ sind. Ist das falsch?
02.03.2013, 01:13	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Ja, das ist falsch. Erstmal zur Anschaulichung: $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ ist im Prinzip $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit einem ganz feinen "Gitter". Beachte, dass du jeden Punkt in $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ beliebig gut mit Punkten aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q^2 \end{eqnarray}$ annähern kannst.
02.03.2013, 01:19	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Kann man dann überhaupt ein Rand machen? Ist es möglich, dass es keine Randpunkte gibt?
02.03.2013, 01:20	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Ganz allgemein kann es zwar Mengen ohne Rand geben, dieses $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ hat aber einen. Vielleicht mal als Tipp: Der Rand von $\begin{eqnarray} [0,1)\cap\mathbb Q \end{eqnarray}$ wäre $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ .
02.03.2013, 01:25	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte $\begin{eqnarray} Y:= \{ (x,y) \in \mathbb Q^2 : x^2 + y^2 = 1 \} \end{eqnarray}$ Jetzt zählt die x-Achse nicht mehr als rand?
02.03.2013, 01:27	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Das stimmt jetzt gar nicht mehr. $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ ist im wesentlichen die Einheitskreisscheibe, aber "mit ganz vielen Löchern". Kannst du da anschaulich einen Rand vermuten?
02.03.2013, 01:31	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Jede Punkt in $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ gehört dann zu den Randpunkten. Ist das richtig?
02.03.2013, 01:33	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Ja, das stimmt. Aber es gibt noch viel mehr Randpunkte. Beachte dazu, dass der Rand stets abgeschlossen ist. Wenn du also den Abschluss von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ bestimmen kannst, bist du damit fertig.
02.03.2013, 01:39	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte $\begin{eqnarray} \{ (x,y) \in \mathbb R^2 : \|\|(x,y)\|\| \leq 1 \} \end{eqnarray}$ Kann das dann sein? Randpunkte müssen nicht dann nur in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ sein, oder?
02.03.2013, 01:40	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Das stimmt Nein, die Randpunkte müssen nicht rational sein.
02.03.2013, 01:41	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge aller Randpunkte Danke Vielmals Che =)

Neue Frage »

Antworten »

Menge aller Randpunkte

Verwandte Themen