Stetigkeit in R^n

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01.03.2013, 23:32	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit in R^n Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} (V , \|\|.\|\|v) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (W,\|\|.\|\|w) \end{eqnarray}$ normierte Vektorräume und $\begin{eqnarray} L: V \to W \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung. Zeige: (i) $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ ist stetig genau dann, wenn $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ stetig im Punkt $\begin{eqnarray} 0 \in V \end{eqnarray}$ ist. (ii) $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ ist stetig genau dann, wenn gilt, dass für jede beschränkte Teilmenge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} L(A) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ beschränkt ist. Meine Ideen: Ich habe keine Ahnung wie man das macht. Ich weiss das ich linearität verwenden muss. Weiss jemand das?
01.03.2013, 23:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit in R^n Fangen wir mit (i) an. Eine der Richtungen ist trivial (welche?). Nun schreib mal auf, was du für die andere zeigen musst. Edit: Übrigens, um $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ geht es hier gar nicht (!)
02.03.2013, 03:23	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit in R^n (i) Beweis: $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Von Definition, $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ stetig, wenn $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ in jedem Punkt stetig ist. $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} x \in V \end{eqnarray}$ beliebig. Sei $\begin{eqnarray} \bigcup _{Lx} \end{eqnarray}$ eine Umgebung von $\begin{eqnarray} Lx \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} -Lx+ \bigcup _{Lx} \end{eqnarray}$ eine Umgebung von $\begin{eqnarray} 0 \in W \end{eqnarray}$ . Daher existiert nach $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ stetig eine Umgebung $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} 0 \in V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} LU \subset Lx + \bigcup _{Lx} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} x+U \end{eqnarray}$ eine Umgebung von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} L(x+U)=Lx+LU \subset \bigcup _{Lx} \end{eqnarray}$ . Ist das Richtig für (i) ?
02.03.2013, 11:12	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit in R^n Sieht ganz gut aus, an einer Stelle hast du aber das Minus vor $\begin{eqnarray} Lx \end{eqnarray}$ vergessen. Schöner wäre es aber über Folgenstetigkeit: Für $\begin{eqnarray} x_n\to x \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} x_n-x\to0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} Lx_n-Lx=L(x_n-x)\to0 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} Lx_n\to Lx \end{eqnarray}$ .
02.03.2013, 11:34	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit in R^n Aber und jetzt für (ii) ? Soll ich irgendwie so beginnen? $\begin{eqnarray} \Leftarrow \|\|x-y\|\|v = C\|\|Lx-Ly\|\|w \end{eqnarray*}$ ? Aber wie geht es jetzt weiter?
02.03.2013, 11:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit in R^n Das ergibt so zwar keinen Sinn, könnte aber einen ergeben. Dürft ihr denn davon ausgehen, dass die Aussage über beschränkte Mengen dazu äquivalent ist, dass $\begin{eqnarray} \lVert Lx\rVert_W\leq C\lVert x\rVert_V \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} C>0 \end{eqnarray}$ und für alle $\begin{eqnarray} x\in V \end{eqnarray}$ ?
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02.03.2013, 11:49	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit in R^n $\begin{eqnarray} \Leftarrow \|\|x-y\|\|_V = C\|\|Lx-Ly\|\|_W \end{eqnarray}$ Die 2 sind äquivalent und endlich, so kann ich diese Relation mit ein C konstant machen oder?
02.03.2013, 11:51	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit in R^n Zunächst einmal kannst du da keine Gleichheit hinschreiben. Und kannst du denn nun die Aussage aus meinem letzten Beitrag voraussetzen? Bzw. woher kommt deine Gleichung?
02.03.2013, 12:17	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit in R^n Kann ich dann so schreiben? $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ Wegen der stetigkeit am Nullpunkt (siehe (i)) gibt es ein $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ , so dass aus $\begin{eqnarray} \|\|y\|\| < \delta \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \|\|Ly\|\| \leg 1 \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ ein Vektor aus V. Dann hat $\begin{eqnarray} y= \delta\|\|x\|\|^{-1} x \end{eqnarray}$ die Norm $\begin{eqnarray} \leq 0 \end{eqnarray}$ . Es ergibt sich $\begin{eqnarray} \|\|Lx\|\| \leq \delta^{-1} \|\|x\|\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \|\|Ly-Lx\|\| \leq C\|\|y-x\|\| \end{eqnarray}$ erkennen wir, dass $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ sogar gleichmässig stetig ist. Ist das gut? EDIT: Ich habe beide Arrows vertauscht
02.03.2013, 12:26	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit in R^n Ich glaube, die beiden Richtungen sind bei dir durcheinandergeraten. In der ersten hätte ich zwar $\begin{eqnarray} y=\tfrac12\delta\lVert x\rVert_V^{-1}x \end{eqnarray}$ gesetzt, um auch wirklich in die $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ -Kugel hineinzukommen, das $\begin{eqnarray} \leq0 \end{eqnarray}$ ergibt keinen Sinn, aber im wesentlichen stimmt die Idee. Zur anderen Richtung: Ja, und sogar Lipschitz-stetig (falls der Begriff bekannt ist) Wie gesagt: Das geht aber nur, wenn bekannt ist, dass die in der Aufgabe genannte Bedingung äquivalent zu $\begin{eqnarray} \lVert Lx\rVert_W\leq C\lVert x\rvert_V \end{eqnarray}$ ist.
02.03.2013, 12:40	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit in R^n Was soll ich dann machen? Das als Annahme schreiben?
02.03.2013, 12:43	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit in R^n Kommt darauf an, ob ihr das besprochen habt. Zumindest deine erste Richtung kannst du aber so beibehalten, aus dem, was du da gezeigt hast, folgt ja direkt, dass beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen abgebildet werden. Zur anderen Richtung kannst du dir den Einheitskreis in $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ansehen. Weil der auf eine beschränkte Menge abgebildet wird, folgt $\begin{eqnarray} \lVert Lx\rVert\leq\sup_{\lVert y\rVert=1}\lVert Ly\rVert\leq C \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \lVert x\rVert=1 \end{eqnarray}$ . Das kannst du jetzt auf $\begin{eqnarray} \lVert Lx\rVert\leq C\lVert x\rVert \end{eqnarray}$ für allgemeines $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ erweitern.
02.03.2013, 12:51	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit in R^n Alles klar jetzt! Vielen dank =)

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