Integrale: PBZ, Substitution und trigonometrische Idenitäten

01.03.2013, 23:51

Screwhal

Integrale: PBZ, Substitution und trigonometrische Idenitäten

Hi Matheboard wir haben diese Woche mit Integralen angefangen und ich habe diesbezüglich noch 3 Fragen die bis jetzt noch ungeklärt blieben.

1) Parzialbruchzerlegung:

Ich hab schon mal davon gehört und dachte ich wüsste wie's geht, leider falsch gedacht, also es geht um folgendes Problem:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^4+x+1}{x(x^2+1)} \end{eqnarray*}$

Ich dachte bei der PBZ such man Konstanten so dass:
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2+1} + \frac{C}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

Tja leider falsch gedacht, denn hier gilt jetzt A=0 und A=1 was offensichtlich ein Wiederspruch ist und somit keine solche Zerlegung existiert. Mit rumprobieren hat es geklappt, da wir hier den Nenner mit der binomischen Formel zu $\begin{eqnarray*} \frac{((x^2+1)+x-2x^2)}{x(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ umschreiben können somit haben wir unsere Zerlegung. Mir ist aufgefallen dass so ein Ansatz funktionieren würde:
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x}+\frac{Bx+D}{x^2+1} + \frac{Cx+E}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

Frage: Wie genau macht man hier PBZ und wieso muss man diese Bx und Cx noch einführen damit es klappt

2) Substitution

Hier geht es eher um eine technische Frage, wir mussten den Term von 1) integrieren, nach PBZ muss man unter anderem das hier integrieren:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ , mit der Substitution x=tan(u) geht das sehr leicht, da die Identität $\begin{eqnarray*} 1+tan^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ gilt und somit das Integral sich auf $\begin{eqnarray*} \int_{ } \! cos^2(x) \, dx \end{eqnarray*}$ reduziert, das geht dann mit trigonometrischen Formel.

Frage: Warum darf man x mit tan(u), substituieren? tan(u) hat noch eingeschränkten Definitionsbereich und zwar darf $\begin{eqnarray*} u \ne \pi/2\cdot k, k \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , wobei der Definitionsbereich von x ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist?

3) Wenn man jetzt alles substituiert hat kann man noch
$\begin{eqnarray*} \cos(tan^{-1}(x)) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1} } \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \sin(tan^{-1}(x)) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1} } \end{eqnarray*}$ ersetzen.

Frage: Wie kommt man auf diese Identitäten, hab es auch in Wikipedia gefunden, nur ohne hinreichende Erklärung.

Ich danke im Vorraus für jede ernst gemeinte Antwort smile

02.03.2013, 13:27

zyko

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RE: Integrale: PBZ, Substitution und trigonometrische Idenitäten
Zur Partialbruchzerlegung:
Als erstes dafür sorgen, dass die Potenz im Zähler kleiner als im Nenner ist
$\begin{eqnarray*} \frac{x^4+x+1}{x(x^2+1)}= x + \frac{-x^2+x+1}{x(x^2+1)}= x + \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1} \end{eqnarray*}$
Durch Koeffizientenvergleich erhält man A, B und C.
Bei Polynomen, die nur reelle Koeffizienten haben, gilt, falls $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ Nullstelle ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} \overline{z} \end{eqnarray*}$ das konjugiert Komplexe eine Nullstelle. Deswegen treten bei der Partialbruchzerlegung in den Nennern nur lineare und quadratische x-Potenzen auf. Handelt es sich um quadratische Polynome, dann steht im Zähler ein in x lineares Polynom.

Falls eine Nullstelle mehrfach auftritt, dann sind entsprechen viele Summanden anzusetzen, wobei die Nenner geeignet zu Potenzieren sind,
s.a.
http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung

Zur Integration:
Substitution
$\begin{eqnarray*} x=tg(u) \end{eqnarray*}$
das ist erlaubt, da es zu jedem gewünschten x ein entsprechendes u gibt.
$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{\cos(u)^2} \end{eqnarray*}$
Nach der Substitution darf im Integranden kein x mehr vorkommen (auch dx bzw. x-Grenzen).
Damit lautet dein Intergal
$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{(x^2+1)^2}dx = \int \frac{1}{(tg(u)^2+1)^2} \frac{du}{\cos(u)^2}=\int \cos(u)^2 du \end{eqnarray*}$
Dieses liefert einen Ausdruck in u. Meistens will man aber den Ausdruck in x haben, deshalb ist nach der Integration das u jetzt durch $\begin{eqnarray*} u=arctan(x) \end{eqnarray*}$ zu ersetzen.

Achtung falls Integrationsgrenzen angegeben sind, dann dürfen in das u-Integral nicht die x-Grenzen eingesetzt werden sondern nur deren u-Werte, dann kann man sich die Rücksubstitution sparen.

02.03.2013, 19:25

Screwhal

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RE: Integrale: PBZ, Substitution und trigonometrische Idenitäten
Ok zu 1)

Soweit ich dich verstanden habe würde man hier so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x^3+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Ax^2+Bx+C}{x^3+1} \end{eqnarray*}$

Unten kommen Potzen vom Grad 3 vor also größer als 2 und somit kann man das nicht in lineare x Faktoren darstellen. Für jedes beliebige Polynom das einer höheren Grad als 2 hat muss man im Zähler ein quadratisches Polynom einsetzen, nie jedoch ein höeres? Also würde man das hier so machen?:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x^5+x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Ax^2+Bx+C}{x^5+x+1} \end{eqnarray*}$

Ich stimme dir zu dass bei Polynomen mit konstanten Koeffizienten, eine komplexe Zahl und ihr konjugiertes Lösung der Nullstellensuche sind (den Beweis habe ich sogar vor ein paar Tagen gemacht). Ich verstehe aber nicht wie daraus folgen soll dass bei der PBZ die Terme höchstens quadratisch sein können oder wie man nach der PBZ die Nullstellen rauslesen soll?

Zu 2)

Deine Antwort war ein bisschen zu lang (well there's never too much information), ich denke

Zitat:

das ist erlaubt, da es zu jedem gewünschten x ein entsprechendes u gibt

hat meine Frage schon geklärt.

tan(u) hat denselben Wertebereich wie der Definitionsbereich von x. Man darf aber bspw. nicht mit cos(u) substituieren, da der Wertebereich von cos auf [-1,1] beschränkt ist, oder?

zu 3) ist mir ein Satz aus der Vorlesung eingefallen, damit bin ich weit gekommen, der Professor hat gemeint damit könne man zeigen was die Ableitung vom arctan ist:
$\begin{eqnarray*} y=f(x), x=g(x) \Rightarrow g'(y)=\frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray*}$
Ich habe folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} y=f(x)=tan (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=f'(x)=\frac{1}{cos^2(x)}=1+tan^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=g'(y)=cos^2(x)=\frac{1}{1+tan^2(x) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(y)=cos^2(arctan(y))=\frac{1}{y^2+1 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(arctan(y))=\pm \sqrt{\frac{1}{y^2+1 }} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiss ich nicht wie ich das +- wegargumentieren soll :/.
Das selbe kann man für Sinus benutzen wenn man
cos^2=1-sin^2 einsetzt

Gut dann ist ja schon mal eine Frage (2.) geklärt, 1) bin ich mir noch sicher ob ich das verstanden habe..., 3) ist zum greifen nah aber ich habs halt noch nicht ganz und ich brauch einen kleinen Inspirationsschub um zu verstehen was ich mit +- machen muss.

03.03.2013, 18:34

zyko

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RE: Integrale: PBZ, Substitution und trigonometrische Idenitäten

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=\frac{A}{x}+\frac{Ax^2+Bx+C}{x^3+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^3+1)=(x+1)(x^2-x+1) \end{eqnarray*}$ kann also noch weiter zerlegt werden.
Generell gilt, dass ein Polynom n-ter Ordnung n Nullstellen $\begin{eqnarray*} z_k \mbox{ mit } k \in \{1, 2, \cdots n\} \mbox{ und } z_k \in\mathbb C \end{eqnarray*}$ besitzt.
Deshalb ist die Partialbruchzerlegung $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\frac{A_k}{x-z_k} \end{eqnarray*}$ immer möglich. Man hat dann zwar komplexe Anteile, die sich aber gegenseitig (auch nach der Integration) aufheben.
Probier dies mal mit $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{1+x^2} dx \end{eqnarray*}$
Man sollte wissen, dass dies $\begin{eqnarray*} arctan(x) \end{eqnarray*}$ ergibt. Mit der vorgeschlagenen Partialbruchzerlegung mit den komplexen Nullstellen $\begin{eqnarray*} z=\pm i \end{eqnarray*}$ erhält man zwar zweimal den Logarithmus. Man kann aber zeigen, dass dies identisch mit dem Arcustangens ist.

Zitat:

Ich stimme dir zu dass bei Polynomen mit konstanten Koeffizienten, eine komplexe Zahl und ihr konjugiertes Lösung der Nullstellensuche sind (den Beweis habe ich sogar vor ein paar Tagen gemacht). Ich verstehe aber nicht wie daraus folgen soll dass bei der PBZ die Terme höchstens quadratisch sein können oder wie man nach der PBZ die Nullstellen rauslesen soll?

Du hast recht, dies gelingt wirklich nicht immer, mögliches Beispiel
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{1+x^4} dx \end{eqnarray*}$
Solche Integrale löse ich gerne mit den komplexen Nullstellen und fasse anschließend die entstehenden Logarithmen geeignet zusammen, um zu erreichen, dass komplexe Anteile entfallen.

Zu 2)

Zitat:

tan(u) hat denselben Wertebereich wie der Definitionsbereich von x. Man darf aber bspw. nicht mit cos(u) substituieren, da der Wertebereich von cos auf [-1,1] beschränkt ist, oder?

Es sei denn in der Aufgabenstellung (evtl. Integrationsgrenzen) ist für x nur ein eingeschränkter Definitionsbereich vorgegeben.

Zitat:

zu 3) ist mir ein Satz aus der Vorlesung eingefallen, damit bin ich weit gekommen, der Professor hat gemeint damit könne man zeigen was die Ableitung vom arctan ist:
$\begin{eqnarray*} y=f(x), x=g(x) \Rightarrow g'(y)=\frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray*}$

Hier gehst du etwas ungenau in den Bezeichnungen vor:
$\begin{eqnarray*} y=f(x), x=g(y) \Rightarrow \frac{dx}{dy}=\frac{1}{ \frac{dy}{dx}} \end{eqnarray*}$
Eine kleine Zeichnung mit einem x-y-Koordinatensystem und bel. Funktion kann dies bestätigen. Was bedeutet geometrisch $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ und was $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} \end{eqnarray*}$ ?

Bei deiner Schreibweise ist im Einzelfall unklar, ob du nach x oder nach y ableitest. Der Grundgedanke ist allerdings richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} cos(arctan(y))=\pm \sqrt{\frac{1}{y^2+1 }} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiss ich nicht wie ich das +- wegargumentieren soll :/.
Das selbe kann man für Sinus benutzen wenn man
cos^2=1-sin^2 einsetzt

Das Vorzeichen ergibt sich aus dem Kontext, d.h. in welchem Fall ist der Cos positiv und in welchem negativ, evtl. Berechnungsaufgabe (Integrationsgrenzen) splitten.
Ich hoffe , ich konnte dir damit etwas weiterhelfen.

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