Höhe eines Denkmals ohne Sinussatz berechnen

02.03.2013, 01:20

Tipso

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Höhe eines Denkmals ohne Sinussatz berechnen

Hallo,

Aufgabenstellung:

Zitat:

Am Ende einer unter 6° geneigten geraden Linie steht ein Denkmal auf einem 4 m
hohen Sockel. Die Oberkante des Sockels sieht man unter einem Höhenwinkel von 10°;
die oberste Spitze des Denkmals unter einem Höhenwinkel von 20°.
Wie hoch ist das Denkmal (ohne Sockel)? Wie weit steht der Sockel vom Blickpunkt
entfernt?
Verfertige auch eine aussagekräftige Skizze und dokumentiere Deinen Lösungsweg.

Lösungsweg:

Ich scheitere an dem Aufbau der Skizze und am hantieren mit Geogebra.

lg

02.03.2013, 08:49

sulo

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RE: Trigonometrie - Textaufgabe - 5
Dann will ich dir mal auf die Sprünge helfen:

[attach]28782[/attach]

smile

smile

02.03.2013, 13:20

Tipso

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Mir scheint es so, als ob die Skizze die Lösung bringt.

Nun verstehe ich einiges dennoch nicht.

Zitat:

Am Ende einer unter 6° geneigten geraden Linie steht ein Denkmal auf einem 4 m
hohen Sockel.

Wie interpretierst du daraus, dass die erste Gerade (rot) einen Winkel von 6° ausweist.

Zitat:

unter 6° geneigten geraden Linie

Steil hinauf geht und nicht steil hinunter..

geg:
Höhe von Sockel = 4m.
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ von gesamt Dreieck = 20°

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 6°, 4°, 10° je nach betrachtetem Dreieck.
Dabei ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ frei wählbar.
ges:

Zitat:

Wie hoch ist das Denkmal (ohne Sockel)?

Höhe vom Sockel.

Wie weit steht der Sockel vom Blickpunkt
entfernt?

Gesamthöhe.

--------------------------------------------------------------------------------

kann ich mit diesen Angaben anfangen zu rechnen oder habe ich noch bestimmte Geraden gegeben?
------------------

Mein Versuch:

sin $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = \frac{G}{H}

Geht nicht, da es sich nicht um ein rechtw. Dreieck handelt.

lg

02.03.2013, 13:38

sulo

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Oh, stimmt, die Neigung geht in die andere Richtung, das habe ich falsch interpretiert.

So sollte es aussehen:
[attach]28784[/attach]

Kennst du schon den Sinus- und Cosinussatz? Oder rechnest du bisher nur in rechtwinkligen Dreiecken?

02.03.2013, 13:41

Tipso

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Zitat:

Kennst du schon den Sinus- und Cosinussatz

Sind geläufig.

Ich habe aber nirgens 3 bekannte Größen.

Ginge es den ohne auch? Ohne Sinus- und Cosinussatz?

lg

02.03.2013, 13:42

sulo

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Ich werde mal drüber brüten, die Aufgabe ist ja nun anders, als ich zunächst gedacht habe.

smile

smile

edit: Ja, du kannst die Aufgabe mit den Tangens angehen.
Zerlege dazu die 4m in zwei Teilstrecken: (4-x)m und xm.

Kommst du nun schon weiter?
Es werden 2 Gleichungen mit 2 Variablen aufgestellt, die du nach Umstellen gleichsetzen kannst.

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02.03.2013, 13:48

Tipso

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Ich habs.

Das mittlere Dreieck ist ein rechtw.

Ps.
Ich glaube, dass deine erste Skizze auch rechtens war.

Mein Lösungsvorschlag.

Mittleres Dreieck, -Innenwinkelsumme.

Sinussatz.

------------------------------------------------------------

Mit diesem Einstieg lässt sich alles andere berechnen.

lg

edit:

Zitat:

Ja, du kannst die Aufgabe mit den Tangens angehen.
Zerlege dazu die 4m in zwei Teilstrecken: (4-x)m und xm.

Ist mir etwas zu hoch. smile

smile

02.03.2013, 13:52

sulo

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Die erste Skizze war nicht richtig, du brauchst die zweite.

Hast du mein edit gelesen, wie du vorgehen kannst?

smile

smile

02.03.2013, 13:57

sulo

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Zitat:

Original von Tipso
edit:

Zitat:

Ja, du kannst die Aufgabe mit den Tangens angehen.
Zerlege dazu die 4m in zwei Teilstrecken: (4-x)m und xm.

Ist mir etwas zu hoch. smile

smile

Vielleicht hilft die Detailskizze:
[attach]28787[/attach]

Versuche mal, den Tangens anzuwenden.

smile

smile

02.03.2013, 13:58

Tipso

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Verstehe es leider überhaupt nicht.

Wir haben also überhaupt kein rechtw. Dreieck.

lg

02.03.2013, 14:00

sulo

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Doch, natürlich, beide Dreiecke sind rechtwinklig:

[attach]28788[/attach]

02.03.2013, 14:12

Tipso

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Hi,

$\begin{eqnarray*} tan\left(\alpha \right) = \frac{A}{G} \end{eqnarray*}$

1.
$\begin{eqnarray*} tan\left(10° \right) = \frac{4-x}{y} \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} tan\left(6°\right) = \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

------------------------------------------------------------------------

2.

$\begin{eqnarray*} x = tan\left(6°\right) *y \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------------------------------

1.

$\begin{eqnarray*} tan\left(10° \right) = \frac{4-tan\left(6°\right) *y}{y} \end{eqnarray*}$

02.03.2013, 14:19

Tipso

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Neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} tan\left(\alpha \right) = \frac{A}{G} \end{eqnarray*}$

1.
$\begin{eqnarray*} tan\left(10° \right) = \frac{4-x}{y} \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} tan\left(6°\right) = \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

------------------------------------------------------------------------

2.

$\begin{eqnarray*} x = tan\left(6°\right) *y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{tan\left(6°\right)}{x} \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------------------------------

1.

$\begin{eqnarray*} tan\left(10° \right) = \frac{4-x}{\frac{tan\left(6°\right)}{x}} \end{eqnarray*}$

edit:
gleichsetzen statt einsetzen ..

02.03.2013, 14:24

sulo

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Ich würde beide Gleichungen nach y auflösen und dann gleichsetzen. smile

smile

02.03.2013, 14:36

Tipso

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$\begin{eqnarray*} tan\left(\alpha \right) = \frac{A}{G} \end{eqnarray*}$

1.
$\begin{eqnarray*} tan\left(10° \right) = \frac{4-x}{y} \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} tan\left(6°\right) = \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------------------------------
1.

$\begin{eqnarray*} y = \frac{4-x}{tan\left(10° \right) } \end{eqnarray*}$

2.

$\begin{eqnarray*} y = \frac{x}{tan\left(6°\right) } \end{eqnarray*}$

.................................................................................
.................................................................................

$\begin{eqnarray*} \frac{4-x}{tan\left(10° \right) } = \frac{x}{tan\left(6°\right) } \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

02.03.2013, 14:38

sulo

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Richtig.

Freude

Jetzt kannst du eine Überkreuzmultiplikation machen und in ein paar weiteren Schritten nach x umstellen.

smile

smile

PS: Du brauchst nicht jedesmal von vorne mit der Dokumentation der Rechnung anzufangen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.03.2013, 14:55

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \frac{4-x}{tan\left(10° \right) } = \frac{x}{tan\left(6°\right) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan\left(10° \right) x = tan\left(6°\right) \left(4-x\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan\left(10° \right) x = 4tan\left(6°\right) - tan\left(6°\right)x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan\left(6°\right)x + tan\left(10° \right) x = 4tan\left(6°\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{4tan\left(6°\right) }{2*tan\left(10° \right)*tan\left(6° \right)} \end{eqnarray*}$

lg

edit:
Einfacher gehts echt nicht. Big Laugh

Big Laugh

02.03.2013, 15:01

sulo

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Ich setze hier mal an:

$\begin{eqnarray*} tan (10°) x = 4tan(6°) - tan(6°)x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan(10°) x + tan(6°)x= 4tan(6°) \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du x ausklammern und durch die Klammer teilen, fertig. smile

smile

PS: Die etwas umständlicheren \left( und \right) Klammern brauchst du eigentlich nur bei Brüchen und allem, was höher als 1 Zeile ist, ansonsten kannst die die einfachen Klammern nehmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.03.2013, 15:07

Tipso

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$\begin{eqnarray*} tan (10°) x = 4tan(6°) - tan(6°)x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan(10°) x + tan(6°)x= 4tan(6°) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{4tan(6°)}{tan(10°) + tan(6°)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 1,494 \end{eqnarray*}$

------------------------------------------------------------------------

Verstehe dies nicht:

Zitat:

Am Ende einer unter 6° geneigten geraden Linie steht ein Denkmal auf einem 4 m
hohen Sockel.

Wo ist der Unterschied zwischen ober und unter einem Höhenwinkel?

lg

02.03.2013, 15:11

sulo

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x ist richtig errechnet. Freude

Freude

Deine Frage verstehe ich nicht.
Was hat das Zitat mit der Frage zu tun?

Zum Höhenwinkel habe ich im anderen Thread etwas geschrieben.
Es ist die Ausdrucksform, dass man etwas "unter einem Winkel von xy Grad" sieht.

Mehr nicht.

02.03.2013, 15:19

Tipso

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Hi,

Es handelt sich um zwei verschiedene Fragen. Freude

Freude

Wie wäre es bei ober statt unter einem 6° Winkel?

Unter scheint mir = Tiefenwinkel gemeint.
Ober = Höhenwinkel.

2.

Zitat:

Wo ist der Unterschied zwischen ober und unter einem Höhenwinkel?

3.
Meine vormals Umformung ist falsch weil ich nicht aus einer Summe dividieren darf.

4.
Warum ist $\begin{eqnarray*} tan(6°) + tan(10°) = tan(16°) \end{eqnarray*}$

lg

02.03.2013, 15:27

sulo

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Zitat:

Original von Tipso
Wie wäre es bei ober statt unter einem 6° Winkel?
Wo ist der Unterschied zwischen ober und unter einem Höhenwinkel?

Das gibt es nicht. Man sagt nicht: Ich sehe es ober einem Winkel von xy Grad.

Zitat:

Original von Tipso
4.
Warum ist $\begin{eqnarray*} tan(6°) + tan(10°) = tan(16°) \end{eqnarray*}$

Das ist nicht richtig und das habe ich auch nicht behauptet. Du musst beide Werte erst getrennt ausrechnen und dann addieren.

smile

smile

02.03.2013, 15:33

Tipso

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4.
Warum?

a.
Also sagt man immer unter einem Höhen bzw. Tiefenwinkel, dabei ist Höhenwinkel und Tiefenwinkel dasselbe.

5.
Die Aufgabe ist somit eigentlich erledigt. Da der Rest eher einfach ist.

Ich rechne mit 4 - x aus und kann daraufhin alles vom mittleren Dreieck ausrechnen, daraufhin lässt sich auch alles vom oberen Dreieck ausrechnen.

Wichtig war der komplizierte Einstieg.

6.
Verwirrung herrscht bei mir noch stark beim Unterscheiden von Höhen + Tiefenwinkel bzw. ob meine Gerade nach oben verläuft oder nach unten.

7.

Zitat:

unter 6° geneigten geraden Linie

Demnach ein Tiefenwinkel.
lg

02.03.2013, 15:40

sulo

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Naja, Höhen- und Tiefenwinkel sind nicht das gleiche, sie haben nur den gleichen Wert, da sie Wechselwinkel sind.

[attach]28789[/attach]

Du kannst ja deine Ergebnisse zum Vergleichen hier posten.

smile

smile

02.03.2013, 15:52

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt dennoch einen Unterschied, demnach ist:

Zitat:

Am Ende einer unter 6° geneigten geraden Linie

Ein Höhenwinkel und

Zitat:

unter einem Höhenwinkel von 10°

ein Tiefenwinkel.

lg

02.03.2013, 16:57

Tipso

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Wäre nett wenn mir die Fragen beantwortest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

4-1,494 = 2,506

$\begin{eqnarray*} sin(\alpha ) = \frac{G}{H} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H = \frac{G}{sin(\alpha )} = \frac{2,506}{sin(10°)} \end{eqnarray*}$

So wie ich es sehe, ist der einzige Weg wieder eine Gleichung mit 2 Unbkannten aufzustellen und zu lösen.

lg

02.03.2013, 17:11

sulo

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Zitat:

Original von Tipso
Wäre nett wenn mir die Fragen beantwortest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe keine Frage gesehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Tipso
4-1,494 = 2,506

Stimmt.

Freude

Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} sin(\alpha ) = \frac{G}{H} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H = \frac{G}{sin(\alpha )} = \frac{2,506}{sin(10°)} \end{eqnarray*}$

Wozu das?
Rechne lieber y aus. Dazu brauchst du den Tangens.

02.03.2013, 17:16

Tipso

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Zitat:

Original von Tipso
Es gibt dennoch einen Unterschied, demnach ist:

Zitat:

Am Ende einer unter 6° geneigten geraden Linie

Ein Höhenwinkel und

Zitat:

unter einem Höhenwinkel von 10°

ein Tiefenwinkel.

lg

Mit Fragen meine ich diese Aussagen.
ob diese so richtig sind. Leider bin ich verwirrt bei diesem Thema.

$\begin{eqnarray*} tan(\alpha ) = \frac{G}{A} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan(10° ) = \frac{2,506}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{2,506}{tan(10° )} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = 14,21 \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------------------------------------------------------

Nochmals der Tangens, damit erhalte ich die Länge von meiner Statue.
(Von 4m abziehen).

02.03.2013, 17:26

sulo

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Diese Zeichnung sagt alles, was du wissen musst: klick.

Und ja, in der Zeichnung hier: Klick sind 6° der Tiefenwinkel und 10° der Höhenwinkel.

Und ja, die Entfernung zum Sockel beträgt y = 14,21 m. Freude

Freude

02.03.2013, 17:29

Tipso

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Freude

Freude

Damit ist diese Aufgabe auch erledigt.

Herzlichen Dank für deine Hilfe.

Ich mach dann erstmal eine Pause. Bei offenen Fragen melde ich mich.

Danke.
Wink

Wink

02.03.2013, 17:31

sulo

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Gern geschehen. Wink

Wink

15.04.2013, 23:50

Tipso

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Hallo,

Im nachhinein verstehe ich nicht warum:

http://www.matheboard.de/attachment.php?attachmentid=28784

richtige Skizze ist und

http://www.matheboard.de/attachment.php?attachmentid=28782

falsch.

Eigentlich sind doch beide richtig. verwirrt

verwirrt

16.04.2013, 22:04

Tipso

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Zitat:

Und ja, die Entfernung zum Sockel beträgt y = 14,21 m

Es gibt zwei mögliche Entfernungen zum Sockel, einer an die Spitze des Sockels und einer an die Mitte(x-Achse).

Warum ist der auf die Spitze gesucht und nicht der Abstand von der x-Achse aus gesehen?

lg

16.04.2013, 22:10

sulo

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Als Entfernung bezeichnet man immer die kürzeste Verbindung. Wenn du einen Punkt und eine Gerade hast, dann ist es das Lot von dem Punkt zur Gerade.

Daher ist die Strecke zum Fußpunkt des Sockels gemeint.

Zu den Bildern: Das wird alles in den ersten 4 Beiträgen des Threads erklärt.
Lies es dir noch mal durch.

smile

smile

16.04.2013, 22:55

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist aber anscheinend dennoch der längere Weg gesucht.

Zitat:

Wie weit steht der Sockel vom Blickpunkt entfernt?

lg

17.04.2013, 15:02

Tipso

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Ich bin immer noch der Meinung, dass wir einen Fehler begangen haben.

Zitat:

Wie weit steht der Sockel vom Blickpunkt entfernt?

.................................................................
also stimmt der berechnete Wert dennoch, wie würde man die Strecke vom Blickpunkt zur Spitze des Sockels bezeichnen?
-------------------------------------------------
Was mir auffällt, fehlen tut noch -

Zitat:

a.Wie hoch ist das Denkmal (ohne Sockel)?b.und dokumentiere Deinen Lösungsweg.

c.
Dazu der Rechenweg mit Sinussatz.

a.

$\begin{eqnarray*} cos\alpha = \frac{A}{H} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H = \frac{A}{*cos\alpha} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H = \frac{14,26}{* cos(10°)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H = 82,12 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich genug Infos um mein D auszurechnen. D = Denkmal.

Hier muss ich den Sinus bzw. Cosinussatz verwenden.

Alle Winkel sind gegeben und eine Seite.

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{sin\alpha } = \frac{c}{sin\gamma } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \frac{c}{sin\gamma } sin\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \frac{82,12}{sin(76°) } sin(4°) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 5,9 m \end{eqnarray*}$

c.

Was ändert sich am Rechenweg, wenn Sinussatz erlaubt ist?

Eigentlich nichts oder? Hammer

Hammer

Wenn wir den Text anders interpretieren würden, würde die erste Skizze stimmen, bis auf den Sockel, der doch bis zur x-koordinatenachse geht?

lg

24.04.2013, 14:29

Tipso

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Hallo,

Habe mir sagen lassen, dass übrigens beide Interpretationen von dir richtig waren.
Die erstere ist ausschließlich mit dem Sinussatz lösbar.

Die zweitere ist alleine mit dem Sinussatz nicht lösbar.

lg

24.04.2013, 19:11

sulo

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Ich denke nicht, dass beide Versionen stimmen.

Könnte aber sein, dass beide als mögliche Lösungen akzeptiert werden - wohl, weil viele die andere, eigentlich nicht vorgesehene Interpretation der Aufgabensellung machen.

smile

smile

25.04.2013, 01:25

Tipso

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Hallo,

Die Erste ist "laut Lehrperson" die richtige.

Die Begründung:

Zitat:

geneigten geraden Linie steht

geneigt wird imm allgemeinen als Höhenwinkel interpretiert.

lg

25.04.2013, 11:08

sulo

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Ja, aber es kommt darauf an, wo der Scheitel des Höhenwinkels liegt. Und hier heißt es nun mal:

Zitat:

Am Ende einer unter 6° geneigten geraden Linie ...

Und das deutet klar auf die zweite Version hin.

Wie gesagt - ich hatte es ja auch erst so verstanden, wie es jetzt von der Lehrkraft für richtig erklärt wird.

Aber in dem Fall hätte es heißen müssen:

Zitat:

Am Ende einer unter 6° ansteigenden geraden Linie ...

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