Untersuchung auf Konvergenz

02.03.2013, 14:26

Manuel8

Untersuchung auf Konvergenz

Kann mir wer sagen, was für einen Ansatz ich hier wählen muss?
Ich nehme an, ich muss die Nullstellen des Nenners bestimmen, aber wie mache ich das wenn ich es einfach nicht erraten kann?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\inf} \frac{k^2-2}{2k^3+5k-3} \end{eqnarray*}$

02.03.2013, 16:16

Che Netzer

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RE: Untersuchung auf Konvergenz
Benutze lieber das Minorantenkriterium.
Dazu hilft die Darstellung
$\begin{eqnarray*} \frac1k\frac{k^2-2}{2k^2+5-\frac3k} \end{eqnarray*}$
des Summanden.

02.03.2013, 17:00

Manuel8

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Aber was hilft mir das? Ich weiß zwar, dass 3/k für k>unendlich divergiert, und somit also keine ROlle spielt, jedoch wäre mir keine divergente minorante bekannt, die dieser ähnelt.

02.03.2013, 17:03

Che Netzer

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Was kannst du denn über das Konvergenzverhalten von
$\begin{eqnarray*} \frac{k^2-2}{2k^2+5-\frac3k} \end{eqnarray*}$
aussagen?

02.03.2013, 17:12

Manuel8

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Also über die Folge kann ich durchaus Aussagen treffen, aber ich muss ja eine Reihe auf Konvergenz untersichen und nicht die Folge

02.03.2013, 17:27

Che Netzer

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Ja. Aber erst einmal reden wir über die Folge.

02.03.2013, 18:22

Manuel8

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$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to inf} \frac{k^2-2}{2k^2+5-\frac{3}{k} } = \lim_{k \to inf} \frac{1-\frac{2}{k^2} }{2+\frac{5}{k^2} -\frac{3}{k^3} } = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Was jez?

02.03.2013, 19:01

Che Netzer

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Jetzt kannst du ausnutzen, dass fast alle Glieder dieser gegen $\begin{eqnarray*} \frac12 \end{eqnarray*}$ konvergenten Folge größer als z.B. $\begin{eqnarray*} \frac14 \end{eqnarray*}$ sind.
1. Überlege dir, wieso das so ist.
2. Wende das an, um eine Minorante zu finden.

02.03.2013, 19:26

Manuel8

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Ich könnte es doch so machen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}* \frac{k^2-2}{2k^2+5-\frac{3}{k} } > \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}*\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Und x wähle ich so, dass die gegebene Reihe divergent sein muss, weil ja 1/k egal was x ist divergiert.

Woher weiß ich aber z.B. wenn ich x= 4 nehme, ab welchem Index die Ungleichung stimmt? Da bräuchte ich doch dann das Bildungsgesetz oder?
Wenn ja, dann würde es mich wirklich interessieren wie ich auf das Bildungsgesetz der Reihe komme?
Gibt es da allgemeine Ansätze?

02.03.2013, 19:34

Che Netzer

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Zitat:

Original von Manuel8
Woher weiß ich aber z.B. wenn ich x= 4 nehme, ab welchem Index die Ungleichung stimmt?

Das ist vollkommen egal.

Die beiden Reihen solltest du aber nicht mit einem $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ verbinden.
Erstens müsste das wenn überhaupt ein $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ sein, zweitens haben wir das " $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ " nur für fast alle Summanden, nicht für die gesamten Reihen.

Und was für ein Bildungsgesetz meinst du?

02.03.2013, 19:39

Manuel8

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Zitat:

Erstens müsste das wenn überhaupt ein $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ sein, zweitens haben wir das " $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ " nur für fast alle Summanden, nicht für die gesamten Reihen.

Daher meine Frage ab welchem Index es gültig ist.

Zitat:

Und was für ein Bildungsgesetz meinst du?

Z.B.: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{n*(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$
Der rechte Teil ist das Bildungsgesetz der Reihe 1/k.

02.03.2013, 20:29

Che Netzer

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Es genügt, dass $\begin{eqnarray*} \frac1{4k} \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ kleiner gleich $\begin{eqnarray*} \frac{k^2-2}{2k^3+5k-3} \end{eqnarray*}$ ist – damit ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty\frac1{4k} \end{eqnarray*}$ schon eine Minorante.

Und wie wir die Partialsummen darstellen können, spielt auch keine Rolle.

02.03.2013, 20:44

Chris00

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Dürfe ich gerade mal dazwischen fragen, warum genau du die 1/4 und nicht 1/3 oder 1/5 verwendest ? Oder hätte man die beiden genau so gut verwenden können? Oder wäre 1/5 zu klein und 1/3 zu groß? Ich sehe nämlich nichts, was dagegen sprechen würde...

02.03.2013, 20:52

Che Netzer

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Das ist egal, es soll nur eine positive Konstante kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac12 \end{eqnarray*}$ sein.

02.03.2013, 20:58

Manuel8

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Trotzdem würde es mich interessieren wie man so etwas macht.
Denn dann könnte man nämlich auch herausfinden ab genau welchen Index die Minorante stimmt.

Danke für doe Hilfe

02.03.2013, 21:20

Che Netzer

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Der Index, den du meinst, wäre der, ab dem die Folge sich in der Umgebung von Radius $\begin{eqnarray*} \frac14 \end{eqnarray*}$ um den Grenzwert befindet.
Wann das der Fall ist, werde ich aber ganz sicher nicht ausrechnen.
Wenn du möchtest, eröffne dazu einen neuen Thread.

Hier genügt es aber zu wissen, DASS die Abschätzung für fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt.

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