Funktion an einer x0 differenzierbar |
| 02.03.2013, 15:23 | MatheMatti | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Funktion an einer x0 differenzierbar f(x)={ax+b x>=0 ; 2x^2-1 x<1 Bestimme a und b, dass die Funktion an der Stelle x=1 differenzierbar ist. Meine Ideen: Wir haben also eine Funktion die aus einer Parabel besteht und einer linearen Fkt. die "Problemstelle" ist x=1, denn differenzierbar heisst ja, dass keine Spitzen oder Sprünge vorhanden sein dürfen. a stellt ja den Anstieg dar und der muss ja auf jeden Fall bei beiden Fkt gleich sein. also habe ich 2x^2-1 abgeleitet -> 4x folglich muss a=4 sein. aber wie bekomme ich dann aber b raus ? |
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| 02.03.2013, 15:53 | MatheMatti | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich weiss nicht wie das gekommen ist aber ich glaube mir ist geadae ein licht aufgegangen. also: die funktion besteht ja aus den teilen : f1= ax+b f2= 2x^2-1 wir suchen a und b Differenzierbarkeit heisst erstmal es darf keine Sprünge, es muss also eine durchgehender graf werden. dafuer brauchen wir gleiche Anstiege. f'2=4x -> Anstieg 4 also muss f1 auch einen anstieg von 4 haben. An der x0=1 soll also f1 und f2 die beide einen Anstieg von 4 haben sein aber es fehlt noch das b. Nun denke ich will ich die beiden graphen ja "verbinden" also setze ich sie gleich und setze für a=4 ein, weil wir ja den Anstieg brauchen und für x=1 weil es ja um die stelle 1 geht. also: 4*1+b=2*1^2-1 b=-3 ist das richtig so ?! 
- das wuerde mich grad voll stolz machen! |
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| 02.03.2013, 16:14 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » |
und stimmen. Edit: Wobei in der Definition der Funktion wohl ein Tippfehler ist. |
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| 02.03.2013, 16:22 | MatheMatti | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was meinst du damit ? und ich hab noch eine Frage - Wie überprüfe ich zusätzlich, dass dort auch keine Spitze vorliegt? Das ist bei Differenzierbarkeit ja auch unerwünscht. |
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| 02.03.2013, 16:25 | MatheMatti | Auf diesen Beitrag antworten » |
die frage hat sich gerade erübrigt... normalerweise haette ich ja versucht durch gleichsetzen der beiden fkt (und pkt 1 einsetzen) eine stetige fkt zu erzeugen... aber es waere dann ja noch möglich das eine spitze entsteht. haben die fktionen aber den gleichen anstieg ist dies ja nicht möglich. richtig ? |
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| 02.03.2013, 16:30 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das hört sich recht sinnvoll an. Ja, hier kann man als erstes per eine Stetigkeitsbedingung aufstellen, für die Differenzierbarkeit ist dann zusätzlich gefordert. |
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| 02.03.2013, 16:42 | MatheMatti | Auf diesen Beitrag antworten » |
vielen Dank ! habs verstanden. |
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