Zwei Dreiecke: Sinus- und Cosinussatz - Seite 2

02.03.2013, 22:58

kgV

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Eine Begründung dafür, dass der Sinussatz nicht mit Cosinus und Tangens hinhaut, ist mir grade eingefallen: der Cosinus von 90° ist null- das ist ein Problem (Division durch Null!). Gleiches gilt für den Tangens, der für 90° aus demselben Grund nicht definiert ist. Damit dürfte das geklärt sein.

Und nein, das ist keine Begründung für zwei Ergebnisse. Die ist das $\begin{eqnarray*} c^{\color{red}2} \end{eqnarray*}$ . Quadratische Gleichungen haben immer zwei Lösungen. Wie Dopap aber schon sagte, ist eine negative Länge wenig sinnvoll...

Auch dein Rechenergebnis kann ich bestätigen Freude

Freude

02.03.2013, 23:00

Tipso

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Achso,

Freude

Fehlen tut jetzt nur noch das zweite mögliche Ergebnis bei der Aufgabe 2, aufgrund der Eigenschaft einer Sinusfunktion bzw. des nicht erfüllens dieser.

Wie hätten wir alternativ vorgehen können?

Ps.
Wenn du nicht mehr willst, ist es vollkommen verständlich.
Freude

Freude

02.03.2013, 23:05

kgV

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Bei Aufgabe 2 gibt es nur eine Lösung, da ein Dreieck mit drei Seitenlängen stets eindeutig bestimmt ist. Dass es zwei Lösungen gibt, ist vielmehr die Ausnahme denn die Regel.
Alternative Vorgehensweisen bei der 2:
erstens mal: mit einem adneren Winkel beginnen
dann: drei mal Cosinussatz statt Einmal Cosinussatz, Einmal Sinussatz und einmal Winkelsumme

Diese Varianten sind aber Spielereien- bei solchen "fixen" Aufgaben mit einem einzigen zu bestimmenden Dreieck gibt es schon einen "besten", weil am wenigsten aufwändigen Weg- eben den, den wir genommenhaben smile

smile

Zitat:

Wenn du nicht mehr willst, ist es vollkommen verständlich.

Ich werde erst aufhören zu wollen, wenn ich zwei Meter tief unter der Erde verscharrt bin Big Laugh

Big Laugh

02.03.2013, 23:08

Tipso

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Deine Einstellung finde ich gut.

Wie sieht es mit der zweiten Lösung für Aufgabe 1 aus, da der Gegenüber liegende Schenkel vom gegebenen Winkel kleiner ist als der andere gegebene Winkel.

Wir haben nur ein richtiges Ergebnis erhalten, es soll aber zwei geben..

lg

02.03.2013, 23:13

kgV

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Auf das zweite Ergebnis kommst du, wenn du - ich verweise auf die Skizze von opi- deinen hier zitierten Winkel von $\begin{eqnarray*} \beta=61,28° \end{eqnarray*}$ von 180 Grad abziehst und damit weiterrechnset, also die Rechnungen von danach einfach mit dem Winkel $\begin{eqnarray*} \beta_1=180°-61,28°=118,72° \end{eqnarray*}$ wiederholst

02.03.2013, 23:16

Tipso

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Achso, dies führt zu einem tatsächlich existierenden zweiten c.
Welche auch die Bedingungen erfüllt.

In den anderen Fällen gibt es auch eine existierende zweite Lösung, diese spielt aber keine Rolle.

Gäbe es den eine alternative, wie wir diesem Dilemma aus dem Weg gehen?
Auf der anderen Seite müssen wir das nicht. Big Laugh

Big Laugh

Freude

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02.03.2013, 23:22

kgV

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Dein zweites c, wenn du dich nun auf die Frage mit dem cosinussatz beziehst:

Zitat:

Dies ist die Begründung, warum ich in Beispiel a. für die Seite c, sowohl + als auch - 6,49 erhalten habe?

existiert nicht! Was soll denn eine Seite mit einer Länge von -6,49 LE sein?
Das ist ja so, als würdest du -60 kilogramm wieden, die Erde also leichter machen, solange du da bist. Wenn du aber stirbst und vermoderst, dann wirst du schwerer... Reichlich sinnfrei, oder Augenzwinkern

Augenzwinkern

In etwa genauso sinnfrei sind negative Längen. Eine Länge ist nämlich eine Betragsgröße, ist also immer positiv, egal ob du von links nach rechts misst oder von rechts nach links, wenn ich das mal salopp formulieren darf.

Wenn du aber den Fall mit dem Sinussatz meinst, dann lass dich beruhigen: das Problem hast du nur in dem Fall, dass du zwei Seiten und den Winkel, der der kürzeren der beiden gegenüberliegt, gegeben hast. Überprüfe also am Anfang deine Angaben, dann weißt du von vorneherein, wie vielen Lösungen du erwarten musst smile

smile

02.03.2013, 23:27

Tipso

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Wenn ich meinen zweiten Winkel nehme mit 118° dann ...

Zwei Dreiecke: Sinus- und Cosinussatz

ändert sich doch auch mein c.

Ich überreise es noch nicht ganz mit der Ausnahme beim Sinussatz.

lg

02.03.2013, 23:36

kgV

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Achso, jetzt verstehe ich, was du mit dem zweiten c meinst. Das stimmt natürlich, dieser Wert ändert sich. Deswegen sind die Dreiecke ja verschieden.
Zur Ausnahme:
nehmen wir an, du hast die Seiten a und b im Dreieck gegeben. c ist unbekannt. (Welche Seite die Hypotenuse ist, ist irrelevant)
Wenn nun a länger als b ist, dann gibt es folgende Fälle:
1. Du hast Gamma gegeben- Kein Problem- Cosinussatz und so weiter
2. Du hast Alpha gegeben- auch kein Problem, der Winkel liegt der längeren Seite gegenüber- du erhältst eine einzige Lösung
3. Du hast Beta gegeben- hier, und nur hier, hast du nach dem Schema der Skizze zwei Lösungen. Der Rechenweg ist ganz normal: zuerst Alpha über den Sinussatz, dann Gamma über die Winkelsumme und zuletzt c wieder mit dem Sinussatz. Das liefert dir deine erste Lösung. Die zweite ergibt sich so: du nimmst das berechnete Alpha her und ziehst es von 180° ab. Den entstandenen Winkel tauftst du $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \end{eqnarray*}$ . Dann berechest du dir $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ , indem du $\begin{eqnarray*} 180°-\alpha_1-\beta \end{eqnarray*}$ berechnest. Dann kannst du über den Sinussatz $\begin{eqnarray*} \frac{a}{\sin\alpha_1}=\frac{c_1}{\sin\gamma_1} \end{eqnarray*}$ c berechnen.
Die beiden Lösungen haben dann die Seiten a, b, die Höhe und den Winkel Beta gleich, der Rest unterscheidet sich, also die Seite c und die beiden anderen Winkel.

Ich hoffe, so wird das Ganze etwas übersichtlicher smile

smile

02.03.2013, 23:39

Tipso

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Zitat:

Wenn du aber den Fall mit dem Sinussatz meinst, dann lass dich beruhigen: das Problem hast du nur in dem Fall, dass du zwei Seiten und den Winkel, der der kürzeren der beiden gegenüberliegt, gegeben hast. Überprüfe also am Anfang deine Angaben, dann weißt du von vorneherein, wie vielen Lösungen du erwarten musst

Dies liegt bei a vor.

Ich verstehe nicht, sehe nicht ganz was es für einen Unterschied für mich macht.
Unsere Berechnungen haben gestimmt bis auf die Tatsache das die Bedingung für $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ von zwei verschiedenen Winkeln erfüllt wird, welches zu zwei verschiedene c-Werte bzw. Dreiecke führt.

02.03.2013, 23:45

kgV

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Der Unterschied liegt darin, dass es eben zwei Lösungen gibt, die durch die verschiedenen Werte von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ bedingt sind. Für dich heißt das konkret: mehr arbeit, weil du fast alles zwei mal machen musst
^^
Und unsere Berechnungen waren richtig, aber nicht vollständig. Erst mit der Berechnung des zweiten Dreiecks haben wir die Aufgabe vollständig gelöst, weil alle Lösungen gefunden sind. Es ist wie ein Gleichungssystem mit zwei unbekannten. Wenn du die erste bestimmt hast, dann hast du zwar richtig gerechnet, bist aber noch nicht fertig, weil die zweite noch aussteht. Wenn du die hast, dann ist Schluss. Die unbekannten sind hier halt Dreiecke, aber welchen unterschied macht das schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn ich dich nochmal auf die Skizze von opi verweisen darf, unterscheiden sich die Dreiecke u.a. darin, dass eines ca. drei Mal so groß ist wie das andere

Eine Frage: ist dir unklar, wann das Problem auftritt, oder warum?

edit: da es jetzt schon morgen ist, verabschiede ich mich in die Nacht (nur noch sieben Tage bis zum 18.ten^^) Schaue mir evtl. morgen weitere Fragen an. Gute Nacht

03.03.2013, 00:07

Tipso

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Freude

Freude

Gute Nacht.
Danke für deine Hilfe.

Falls man sich nicht mehr sieht, alles gute zu dem wichtigsten Geburtstag.

03.03.2013, 00:15

opi

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Die Frage, warum der Sinussatz nicht für die anderen Winkelfunktionen gültig ist, habe ich hierher abgetrennt, sonst würde dieser Thread (falls überhaupt möglich Augenzwinkern

Augenzwinkern

) noch unübersichtlicher.

03.03.2013, 00:52

Tipso

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Freude

03.03.2013, 01:07

Tipso

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Ein paar Worte zu dem Problem bei der Aufgabe a. wären gut.
Trotz sehr guter Erklärung von @kgV bin ich mir unsicher.

Ich verweise auf diesen Link:

Zwei Dreiecke: Sinus- und Cosinussatz

Eine gute Erklärung dazu findet man im Thread, @kgV erklärt es sehr gut, ich tue mich jedoch schwer, die Dinge richtig einzuordnen.

Ich versuche die Sachlage zu erläutern:

In dem bestimmten Fall erfüllen zwei Dreiecke die Bedingung, demnach habe ich auch zwei Lösungen.

Mein Problem liegt hier am verstehen, warum ich einen Winkel von 180° abziehe und dadurch meine zwei Lösung bzw. den Winkel dazu erhalte.

lg

Edit opi: Beitrag hierher verschoben, die Rückfrage zur Aufgabe a) gehört in den Thread, in welchem Aufgabe a) besprochen wird. Sollte dies nicht selbstverständlich sein? unglücklich

unglücklich

03.03.2013, 13:36

kgV

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Warum du den Winkel von 180° abziehst, ist so:
Wenn ich dich nochmals auf einen Anderen Thread verweisen darf: hier hat sulo die Skizze zum Problem gezeichnet, die ich hier abbilde (ich hoffe, sie aht nix dagegen Augenzwinkern

Augenzwinkern

):
[attach]28817[/attach]
Wenn du nachschaust, siehst du, dass das Dreieck $\begin{eqnarray*} B_2B_1C \end{eqnarray*}$ gleichschenkelig ist ( $\begin{eqnarray*} a_1=a_2 \end{eqnarray*}$ )Damit ist der Winkel, der in $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ noch nicht eingezeichnet ist, gleich groß wie $\begin{eqnarray*} \beta_1 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \beta_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta_2 \end{eqnarray*}$ ergeben also zusammen 180°: $\begin{eqnarray*} \beta_1+\beta_2=180° \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \beta_2=180°-\beta_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \beta_1=180°-\beta_2 \end{eqnarray*}$
Deshalb musst du 180° minus den bekannten Winkel rechnen, um den zweiten Winkel zu bekommen
Hoffe, das war jetzt verständlich smile

smile

03.03.2013, 15:02

Tipso

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Hi,

Der Graph war tatsächlich von @sulo ich dachte er wäre von @opi.

Ich glaube, ich habe es nun verstanden.

Durchs rechnen ist es nicht ersichtlich aber durch die gegebenen Schenkel, wenn der gegebene Schenkel gegenüber dem geg. Winkel, kleiner als der andere gegebene Winkel ist, muss ich daran denken, dass es zwei Lösungen geben kann.
Diese muss ich in dem Fall auch berechnen.

lg

03.03.2013, 15:07

kgV

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Zitat:

Durchs rechnen ist es nicht ersichtlich aber durch die gegebenen Schenkel, wenn der gegebene Schenkel gegenüber dem geg. Winkel, kleiner als der andere gegebene Winkel ist

Da sollte Wohl Schenkel stehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten richtig Freude

Freude

03.03.2013, 15:10

Tipso

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ja genau.

Wenn er größter ist als der andere gegebene Schenkel, dann existiert auch ein weiterer Punkt der die Bedingung erfüllt, der liegt aber nicht im Dreieck.

Wenn ich es nicht falsch verstanden habe.

Begründung, man nehme einen Zirkel ..

Freude

Freude

03.03.2013, 15:11

kgV

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Zitat:

Begründung, man nehme einen Zirkel ..

Perfekt

smile

Den Nagel auf den Kopf getroffen

Du meintest aber wohl

Zitat:

[...]wenn er kleiner ist als der gegebene Schenkel [...]

03.03.2013, 15:21

Tipso

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Ich meinte schon "größer".

Wenn er kleiner ist, dann existiert tatsächlich eine weitere Lösung.
Im anderen Fall gibt es auch eines, dieser liegt aber in der Unendlichkeit und deshalb nicht von Relevanz. (Wenn ich es so richtig verstanden habe, habe mich dazu weiter eingelesen.)

Wenn wir einen Zirkel nehmen und diesen einzeichnen gibt es immer zwei Schnittpunkte.

smile

smile

Freude

03.03.2013, 15:24

kgV

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Achso... war dann wohl etwas missverständlich smile

smile

Eine existierende Lösung gibt es nur für den Fall "kleiner"
In der Unendlichkeit gibt es nämlich jede Menge wirres Zeugs, um nihct zu sagen: in der Unendlichkeit gibt es nix, was es nicht gibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.03.2013, 15:30

Tipso

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Freude

Alles klar.

eLösung = Lösung mit Ergebnis?

lg

03.03.2013, 15:37

kgV

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nein, Schreibfehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das "e" gehört ans vorige Wort. Werde es gleich verbessern smile

smile

03.03.2013, 15:40

Tipso

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Aso

Freude

Danke für deine Hilfe.

lg

03.03.2013, 15:49

kgV

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Gerne doch. Einmal möchte ich dich aber auch loben:
Mit dir zu arbeiten ist wirklich angenehm. Du denkst mit, fragst nach und strengst dich an- ein vorbildlicher Fragesteller Freude

Freude

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