Zwei Dreiecke: Sinus- und Cosinussatz

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Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Dreiecke: Sinus- und Cosinussatz
Edit opi: Titel geändert, war "Trigonometrie - Textaufgabe - 7"

Hi,


Zitat:
a.
Von einem Dreieck sind die Bestimmungsstücke a = 5 cm, = 47° und b = 6 cm
bekannt. Berechne die restlichen Stücke.

b.
Von einem Dreieck sind die Bestimmungsstücke a = 5 cm, b = 6 cm und c = 10 cm
(bzw. 12 cm) bekannt. Berechne die restlichen Stücke. Kommentiere die Angabe.


a.
Es ist nicht angegeben ob es sich um ein rechtw. oder um keines handelt und genauso wenig ob wir die Fläche auch berechnen müssen.

2. Seiten + 1 Winkel = Sinussatz

Dabei funktioniert der Sinussatz in jedem Dreieck, oder?









Wie mache ich es jetzt ohne dem kreuzprodukt?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du drei Angaben für ein Dreieck hast, dann kannst du Gift drauf schlucken, dass es ein allgemeines Dreieck ist smile
In der Regel war (zumindes bei mir) die Fläche nie ein Bestimmungsstück. Kannst du aber natürlich zur Sicherheit machen, ich weiß nciht, was bei euch verlangt wird. Da hängt viel vom leher ab...
Und ja, der Sinussatz haut in jedem Dreieck hin. Wenn du überlegst, dass der Sinus von 90° eins ergibt, dann siehst du, dass daruas direkt folgt: , wobei a dem rechten Winkel gegenüberliegt und damit die Hypotenuse ist. Da b dem Winkel Beta gegenüberliegt, ergibt sich also für einen rechten Winkel Alpha:

Zur Frage: Warum willst du es ohne Kreuzprodukt machen? Danach einfach durch 5 dividieren und Arcusfunktion anwenden und dann bist du schon an deinen Winkel gekommen Augenzwinkern

lg
kgV
Wink
 
 
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Warum willst du es ohne Kreuzprodukt machen?


Um etwas umformen zu üben. Big Laugh

Ja ich habe es nochmals nachgelesen, sowohl der Cosinus- als auch der Sinussatz funktionieren beim rechtw. Dreieck.










---------------------------------------------------------------------------

Innenwinkelsumme erhalte ich
---------------------------------------------------------------------------
Warum brauche ich die Arcusfunktion?

lg
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, auch der Cosinussatz geht am rechtwinkligen Dreieck: Weil ist, gilt für : Das sollte an etwas erinnern Augenzwinkern

Warum du die Arkusfunktion brachst? Du hast am Ende deiner Umformung -korrekt, nebenbei Freude - bestimmt. Du willst aber Beta haben Arkussinus verwenden smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tipso








Ist dies aber jetzt Grad oder im Bogenmaß.
Wiki sagt Bogenmaß, also muss ich den hier noch auf Grad umrechnen.

siehe hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Arkusfunktion

lg
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ob Grad- oder Bogenmaß hängt von der Einstellung des TR ab. Dein Ergebnis ist aber in jedem Fall im Gradmaß. winke im Bogenmaß sind normal viel kleiner, wenn du bedenkst, dass 360° im Bogenmaß entsprechen smile

PS. Ich muss jetzt für etwa 30 Minuten weg, bin dann aber wieder da. Mach inzwischen ruhig weiter


edit: Da ist mir dann wohl ein Notationsehler unterlaufen... Ich kannte den unterschied bisher nicht. Dann schreibe ich wohl besser.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

hi Tipso !

1.) Sätze die allgemein gelten, gelten auch in speziellen Fällen.

2.) der arcsinus(x) ist die Umkehrfunktion zu sin(x)

leider oft geschrieben. Auf dem TR meist als "2." oder Shift sinus zu erreichen.

3.) "Kreuzprodukt" solltest du vermeiden, da anderweitig schon vergeben, besser

"Überkeuzregel"

weiterhin Spass bei der Trigonometrie Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tipso



Ist dies aber jetzt Grad oder im Bogenmaß.


stimmt doch alles.

Du schreibst doch selbst im Gradmass , das ist das hochgestellte °

Beim Bogenmass verwendet man keine Einheit.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Anregungen @Dopap.

@kgV

Freude

Bedeutet, wenn ich von Anfang an mit Grad rechne, rechnet mein Taschenrechner auch damit etc.


Innenwinkelsumme:





--------------------------------------------------------------------

c

Hier habe ich freie Wahl zwischen Sinus oder Cosinussatz.

Beim Cosinussatz frage ich mich, wie ich daraufhin die Wurzel auflöse. Erhalte ich dann nicht zwei Lösungen?









oder



----------------------------------------------------------------
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

kgv macht ja grad pause Augenzwinkern

den Rechner stellst du vorher ein. Entweder auf GRAD oder RAD-Modus. Alles weitere rechnet er im eingestellten Modus.

--> nicht zwischendurch den Modus ändern!

c.) na ja, formal gibt es eine negative Lösung, aber was soll eine negative Streckenlänge bedeuten ??

----------------------

EDIT: von kgv macht wohl keinen Sinn.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Für Verwirrung sorgt glaube ich der Beitrag hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Arkusfunktion

Zitat:
bezeichnen damit das Bogenmaß des in Grad angegebenen Winkels



Beim er praktischen Anwendung wird es automatisch in dem eingestellten Modus berechnet.

Edit:
Interessant ist, dass degree - Grad zu sein scheint, aber es gibt noch GRD, welches schwer nach Grad aussieht.

lg
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

@ Dopap: Beim Fehler wegeditieren einen Fehler hineingebaut LOL Hammer Es muss logischerweise heißen

@ Tipso: GRD ist Gon, da hat ein Vollkreis 400°, hingegen beim "normalen" Gradmaß 360° und beim Bogenmaß
Aber wie gesagt: einmal einstellen und dann einfach drauflosrechnen. Ignoriere Wikipedia da mal getrost- das macht der TR von ganz alleine Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

schau dir nicht soviele Wikibeiträge an, die können auch verwirren.

1.) Korrektur: DEGREE ist der übliche Modus

( GRAD oder GRD ist das Winkelmass mit Vollwinkel = 400 , sehr wenig in Gebrauch ! )

der Gebrauch von arcus (Winkel ) zur Umrechnung ist kaum in Gebrauch.

man verwendet dann einfach


-------------------

kgv ist wieder da, dann kann ich jetzt das Abendessen kochen!
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe meine Ergebnisse stimme.
Ich gehe über auf die nächste Aufgabe:

Zitat:
b.
Von einem Dreieck sind die Bestimmungsstücke a = 5 cm, b = 6 cm und c = 10 cm
(bzw. 12 cm) bekannt. Berechne die restlichen Stücke. Kommentiere die Angabe.


Hier geht nur der Cosinussatz.

Nachdem ich einen Winkel habe, rechne ich mit dem Sinussatz weiter.
Zuletzt brauche ich die Innenwinkelsumme um alle benötigten Winkel zu erhalten.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Welchen Winkel ich als Erstes ausrechne ist dabei nicht wichtig.








lg
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ergebnisse bei a. stimmen (kleine Abweichungen wegen Rundung habe ich schon, ist aber im Rahmen des Tragbaren)

Deine umformung stimmt so nicht... Wie bekommst du denn den Ausdruck mit dem Sinus nach links? Was muss dort also zwischen dem c² und dem Sin-Ausdruck stehen?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
der Gebrauch von arcus (Winkel ) zur Umrechnung ist kaum in Gebrauch.


Habe ich nicht auf meinem Taschenrechner, ist wohl eine, wie anmerktest eine unübliche Notation von und folgende Winkel. Freude
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Achso..















kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt Freude
Jetzt weiter
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »



Warum eigentlich?
Warum gilt dies nicht für den Cos oder Tan.



------------------------------------------------















-------------------------------------------------------------

Innenwinkelsumme:







lg
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Warum das nur für den Sinus gilt, kann ich dir leider nicht beantworten... keine Ahnung...
Aber abgesehen davon, dass du plötzlich die Variablen wechselst, stimmt die Rechnung und auch der Winkel ist richtig bestimmt Freude
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Auch der letzte Winkel stimmt Freude
Musstet ihr bei bisherigen Aufgaben auch eine Höhe bestimmen?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kgV
Auch der letzte Winkel stimmt Freude
Musstet ihr bei bisherigen Aufgaben auch eine Höhe bestimmen?


Ja.

Die Höhe teilt das Dreieck in zwei rechtw. Dreiecke.

In diesem habe ich jeweils ein Winkel, ein recht. Winkel und eine Gerade gegeben.

Lässt sich deshalb sehr leicht mittels Winkelfunktionen berechnen.










hört sich sehr falsch an..
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ist aber richtig Freude
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Bemerkung zur Aufgabe a):
Damit ein Dreieck eindeutig bestimmt ist, muß die längere der beiden Seiten dem gegebenen Winkel gegenüberliegen(Kongruenzsatz SsW). Dies ist hier nicht der Fall, es sind zwei Lösungen möglich.

[attach]28793[/attach]

Ich überlasse aber wieder kgV das Feld. Wink
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a. verstehe ich noch nicht ganz, die Problematik.

b.
Weitere Bestimmungsstücke oder sind wir fertig?

c.
Persönliche Frage: "Du bist wirklich 17?°.°

lg
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a:
opi zeigte gerade auf, dass es zwei Dreiecke gibt, die die Bedingungen a=5, b=6 und =47° erfüllen, nämlich und . Das ist ein "Defekt" des Sinussatzes, siehe dazu evtl auch die Frage, die ich hier mal gestellt habe: hier

zu b: Wenn du die Fläche nicht noch bestimmen willst, dann würde ich sagen, dass wir durch sind. Du könntest aber auch noch zu Aufgabe a) eine Höhe bestimmen

zu c: Aber nicht mehr lange^^ (genauer: noch acht Tage bis zur Volljährigkeit Augenzwinkern )
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Dann fange ich an mit der h von a und daraufhin berechne ich noch die jeweiligen Flächen.

a.

h = ?











1. Frage

Muss ich 47° schreiben oder reicht 47?
--------------------------

Flächen:

Fläche von a.

Es steht mir frei, das Dreieck in zwei rechtw. Dreiecke zu teilen und so die Fläche zu berechnen.
Da wir h ausgerechnet haben, spare ich mir dies.

da unser h dem h_c entspricht:





kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde der Vollständigkeit halber 47° schreiben- auch um Verwirrungen bezüglich der Einheit zu vermeiden. So sieht jeder, dass du im Gradmaß unterwegs bist smile
Die Höhe ist richtig berechnet Freude
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Fläche von a) ist richtig Freude
Jetzt noch die letzte Fläche und dann ist Ende im Gelände^^
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

b.
Fläche








Danke für deine Hilfe.
smile
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kgV
Das ist ein "Defekt" des Sinussatzes

Der Sinussatz hat mich gerade angerufen und bittet darum, ihn zu verteidigen. geschockt

Es liegt kein Defekt vor, der Sinussatz funktioniert immer und wunderbar prächtig. Engel
Das Problem liegt in der Anwendung des
Zu (fast) jedem Sinuswert gehören zwei Winkel im Dreieck: Der Winkel, den der TR anzeigt, und der zweite Winkel 180° - Anzeige des TR.

Damit nicht zu viel Verunsicherung aufkommt:
Bei der Dreiecksberechnung wird dies nur dann zum Problem, wenn die kürzere Seite dem geg. Winkel gegenüberlegt. alpha=47°, a=7cm, b=6cm verursacht kein Problem.
Bitte ausprobieren und nachrechnen.
Im rechtwinkligen Dreieck kann sowieso kein Winkel größer als 90° sein.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

@ opi: Ich entschuldige mich in aller Form beim Sinussatz Augenzwinkern ich meinte damit lediglich, dass er nicht immer eindeutige Lösungen liefert- deshalb den Defekt auch unter Anführungsstrichen smile
@ Tipso:Gern geschehen smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bei der Dreiecksberechnung wird dies nur dann zum Problem, wenn die kürzere Seite dem geg. Winkel gegenüberlegt.


verwirrt

Ps.
Fläche von b. sollte passen, habs nochmals nachgerechnet.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, habe vergessen, dir das zu bestätigen: passt natürlich Freude
hier ist der Rundungsabstand aber schon etwas höher: exaktes Ergebnis: 11,39901cm²
hast du dir die Skizze im Thread angesehen, die sulo da gemacht hat? Es sind a1, b und Alpha gegeben.
da a1 kürzer als b1 ist, und Alpha der gegebene Winkel ist und a gegenüberliegt, hast du zwei Lösungen. Hättest du Beta gegeben (egal ob beta1 oder beta2), dann gäbe es nur eineLösung (die den jeweiligen Winkel beinhaltet). Beide Varianten für Beta würden aber den Winkel Alpha enthalten
Hoffe, das war verständlich smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich verstanden.

Es ist also in dem Beispiel a nicht ganz klar welches der 2 Dreiecke nun gemeint ist, da beide die Bedingungen erfüllen. Freude

Wink
Danke @kgV und @opi
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt genau smile
Gerne smile
Bis dann und gute nacht smile
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tipso
verwirrt


Die Frage hätte ich gerne ausführlicher formuliert. War mein Bilderl unverständlich? Hast Du mein Beispiel alpha=47°, a=7cm, b=6cm ausprobiert?

Mal was ganz anderes:
Bitte benenne deine Threads aussagekräftiger.

[attach]28795[/attach]

Worum ging es denn gleich bei Aufgabe 5? Wie weit sind wir bei Aufgabe 7? Sehr unübersichtlich. Unter der Ballonaufgabe kann man sich etwas vorstellen.

Ich werde einige Thementitel ändern.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Werde darauf in Zukunft achten.

Ich tue mich mit Geogebra sehr schwer, werde es auf einem karierten Blatt versuchen. smile
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Mit "Ausprobieren" meinte ich berechnen. Bei meinem Beispiel kann nur eine Lösung herauskommen. smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Dies ist die Begründung, warum ich in Beispiel a. für die Seite c, sowohl + als auch - 6,49 erhalten habe?

Beim habe ich aber nur ein Ergebnis erhalten.

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Frage zum Sinussatz: Edit opi: Wird hier bearbeitet, ich habe die Frage abgetrennt und ein neues Thema eröffnet.



Warum eigentlich?
Warum gilt dies nicht für den Cos oder Tan.



lg
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