Verständnisfrage: Faktorisieren, um rationale Funktion (für Grenzwertbildung) zu vereinfachen

02.03.2013, 22:48

mad_zero

Verständnisfrage: Faktorisieren, um rationale Funktion (für Grenzwertbildung) zu vereinfachen

Meine Frage:
Guten Abend,

ich absolviere ein berufsbegleitendes Fernstudium, in dem ich mich zur Zeit dem Modul "Differenzialrechnung" widme. Mein Mathematik-Wissen aus der Schule ist sehr angestaubt, weshalb sich mir der Rechenweg folgender Aufgabe nicht erschließen will:

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x-4)*(x^2-2x+1)}{(x^2-4x+3)*(x-1)} \end{eqnarray*}$

Für sie sollen zunächst die Unstetigkeitsstellen und anschließend die Art der jeweiligen Unstetigkeit ermittelt werden. Diese (Nullstellen des Nenners) habe ich mit der Mitterachtsformel errechnet:
$\begin{eqnarray*} x_{1} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2} = 3 \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt sind die rechts- und linksseitigen Grenzwerte für $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ zu ermitteln - und hier beginnt mein Problem: Wie vereinfache die rationale Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , um die Grenzwertsätze anwenden zu können?

Viele Grüße,
Dennis

Meine Ideen:
Die Musterlösung schlägt folgende Vereinfachung vor:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-4)*(x^2-2x+1)}{(x^2-4x+3)*(x-1)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-4)*(x-1)^2}{(x-1)^2*(x-3)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-4}{x-3} = [...] \end{eqnarray*}$

Ich erkenne darin die Anwendung der zweiten Binomischen Formel im Zähler sowie das Kürzen von $\begin{eqnarray*} (x-1)^2 \end{eqnarray*}$ . Doch wie ergibt sich $\begin{eqnarray*} (x-3) \end{eqnarray*}$ im Nenner?

02.03.2013, 23:41

Che Netzer

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RE: Verständnisfrage: Faktorisieren, um rationale Funktion (für Grenzwertbildung) zu vereinfachen

Zitat:

Original von mad_zero
Ich erkenne darin die Anwendung der zweiten Binomischen Formel im Zähler sowie das Kürzen von $\begin{eqnarray*} (x-1)^2 \end{eqnarray*}$ . Doch wie ergibt sich $\begin{eqnarray*} (x-3) \end{eqnarray*}$ im Nenner?

Da wurde $\begin{eqnarray*} x^2-4x+3=(x-1)(x-3) \end{eqnarray*}$ faktorisiert. Diese Nullstellen hast du ja schon berechnet.

Übrigens: Diese Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist stetig, ihr (natürlicher) Definitionsbereich ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus\{1,3\} \end{eqnarray*}$ .
Statt "Unstetigkeitsstellen" sollte man daher nach Definitionslücken fragen.

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