Grenzwerte von Reihen

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Rin15 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte von Reihen
Meine Frage:
Liebe Mathematiker ;-)
ich beschäftige mich zur zeit mit dem thema grenzwerte von reihen..... mir ist das grundsätzliche prinzip klar, jedoch habe ich probleme auf anhieb den richtigen ansatz/das richtige kriterium zu finden.
ein beispiel:



das x im nenner gehört auch in den exponenten, habe es irgendwie nicht mit dem editor hinbekommen , sorry !
über hilfe würde ich mich freuen smile

Meine Ideen:
so, bei x<0 verhält sich das ganze wie k^2 (via abschätzung mit dem minorantenkriterium) , somit folgt konvergenz soweit klar.
bei x>0 wird dann auf einmal das quotientenkriterium verwendet...woher weiss ich das ? das verfahren ist mir klar, aber wie komme ich denn bitte dadrauf ? habe da irgendwie noch nicht den durchblick.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte von Reihen
Zitat:
Original von Rin15



das x im nenner gehört auch in den exponenten, habe es irgendwie nicht mit dem editor hinbekommen , sorry !


wenn du etwas in Latex zusammenfassen willst, dann hilft die unsichtbare klammer {}

Ansonsten trennt Latex nach jedem Symbol wieder.

\frac 123 =

bei dir dann e^{kx}= somit:

code:
1:
[latex]\sum\limits_{k=1}^n \frac{k^2}{1-e^{kx}}[/latex]


Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte von Reihen
Zitat:
Original von Rin15
bei x>0 wird dann auf einmal das quotientenkriterium verwendet...woher weiss ich das ? das verfahren ist mir klar, aber wie komme ich denn bitte dadrauf ? habe da irgendwie noch nicht den durchblick.

Das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium sind neben Majoranten- und Minorantenkriterium wohl die wichtigsten Konvergenzkriterien.
Mit denen versucht man es dann meist als erstes (wenn man nicht gleich eine Majorante/Minorante findet oder einem ein anderes Kriterium ins Auge springt).
Dass man mit dem Wurzelkriterium hier nicht weit kommt, könnte man aus der Differenz im Nenner ablesen – das würde ungemütlich werden.
Also probiert man es einfach mal mit dem Quotientenkriterium.
Rin15 Auf diesen Beitrag antworten »

danke zunächst mal für die antwort !
nun gut, dass das die wichtigstens kriterien sind, ist mir schon bewusst. aber in einer klausur hab ich ja garnicht die zeit mich da durch zu probieren...zumal ICH immer irgendwie auf ne lösung komme Big Laugh
gibt es da irgendwie ein paar tricks wenn eine e-fkt vorkommt ?
gut zunächst mal unterscheidung zwischen x=0 , x>0, x<0 ......
Rin15 Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht noch ein beispiel :



Meine Ideen :

für x<0 greift zunächst mal das leibnitz kriterium nicht und die e-fkt ruscht in den nenner.
in der lösung steht, dass ich mir erst die majorante bilde und daann das QK drauf anwende.... der alternierende faktor wird dabei weggelassen, kann ich das einfach so ??

für x=0 greift das LK, da ist mir alles klar.

für >0
wird wieder erst die majorante gebildet und dann das QK verwendet. iregdnwie habe ich damit noch starke probleme. ich verstehe nicht wieso man das (-1)^n einfach so weglassen kann !

würde mich sehr über ratschläge freuen smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Für kann man absolute Konvergenz zeigen und beim Bilden des Betrags verschwindet natürlich.

Aber was für eine Majorante soll für gebildet werden?
 
 
Rin15 Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du das vielleicht mit der absoluten konvergenz mal genauer erörtern ?

also folgende majorante wird laut lösung gebildet :


ehrlich gesagt bin ich ein wenig verwirrt, wieso man erst eine majorante bildet und dann noch mal das QK anwendet.

danke für deine mühe !!!! Tanzen
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Für gibt es keine konvergente Majorante, ganz einfach.

Und wenn du eine Reihe auf absolute Konvergenz untersuchst, betrachtest du ja die Reihe, die aus den Beträgen der Summanden gebildet wird.
Da nun , fallt das dabei weg.
Rin15 Auf diesen Beitrag antworten »

aber so steht es in einer "offiziellen" lösung.....
woher weiss ich denn dass ich auf absolute konvergenz untersuche ? die aufgabenstellung lautete ja nicht untersuhce auf absolute konvergenz sondern für welche x ist die reihe konvergent/divergent.
sorry falls ich dich zum verzweifeln bringe ;-)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Sieh dir mal das Majorantenkriterium an – das liefert "nur" absolute Konvergenz, daher braucht man die Betragsstriche.

Und wenn eure Musterlösung sagt, dass die Reihe für konvergiert, dann ist sie falsch.
Die Divergenz zeigt man hier am besten über das Trivialkriterium.
Rin15 Auf diesen Beitrag antworten »

ok das mit dem majorantenkriterium hab ich jetzt verinnerlicht !
äähhmm also trivialkriterium habe ich noch nie gehört ! und vermutlich ist es entgegen des names nicht trivial Big Laugh
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht kennst du es als notwendiges Kriterium.
Es besagt, dass die Summanden einer konvergenten Reihe eine Nullfolge bilden müssen.
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