kongruente Flächen zwischen sin(x) und cos(2x)

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Staubfrei Auf diesen Beitrag antworten »
kongruente Flächen zwischen sin(x) und cos(2x)
Die Angabe lautet: Die Graphen der Funktionen sin(x) und cos(2x) begrenzen zwischen aufeinanderfolgenden Schnittpunkten verschiedene Flächenstücke. Begründen Sie mittels Eigenschaften der Cosinus-Funktion, dass diese alle kongruent sind.

Wie soll denn so eine Begründung aussehen? Ist es hier ausreichend, die À-Periodizität von cos(2x) anzuführen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dies folgt unmittelbar aus der Periodizität der Sinus- und Cosinusfunktion.
Cos(2x) hat die Periodenlänge , die von sin(x) ist
Was kann über die Periodenlänge der Differenzfunktion (rechts, blau dargestellt) ausgesagt werden?




Der rechts dargestellte blaue Graph ist die Differenzfunktion der beiden gegebenen Funktionen, wie sie auch bei der Bestimmung der eingeschlossenen Fläche mittels Integral benötigt wird.
Wie ist deren Fläche mit der x-Achse zwischen ihren Nullstellen zu interpretieren? In welchen Intervallen wiederholt sich das Ganze?

mY+
Staubfrei Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort! Die Differenzfunktion zu betrachten wäre mir selber nicht eingefallen.

Die Nullstellen der Differenzfunktion entsprechen den Schnittpunkten von sin(x) und cos(2x). Gleiche Funktionswerte der Differenzfunktion bedeuten gleiche Flächen zwischen sin(x) und cos(2x). Die Periodenlänge der Differenzfunktion ist wieder . Ist das so richtig? smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

smile Ja, das ist richtig.

mY+
Staubfrei Auf diesen Beitrag antworten »

Das Volumen, welches bei Rotation einer dieser Flächen um die Gerade y=1 entsteht, berechnet sich wie folgt:



Stimmt das? Big Laugh
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
Erstens soll das Ganze offenbar um die x-Achse rotieren, und deren Gleichung ist y = 0 (nicht 1)
und zweitens lautet die dazugehörige Volumsformel



mY+
 
 
Staubfrei Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Funktion sollte wirklich um die Gerade y=1 rotieren. Aber ich habe die Formeln verwechselt, jetzt sieht das Ganze anderst aus. Big Laugh
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann ist - für die Gerade y = c





mY+
Staubfrei Auf diesen Beitrag antworten »

Und f(x) wäre in meinem Fall die Differenzfunktion?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher ...
Staubfrei Auf diesen Beitrag antworten »

Warum nicht so:



?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die angegebene Formel gilt tatsächlich nur für eine einzelne Funktion.
Bei Volumsinhalten zwischen zwei gegebenen Funktionen wird ja gar nicht mit der Differenzfunktion (sondern mit der Differenz deren Quadrate) gerechnet.
Somit ist deine zuletzt angeschriebene Volumenformel richtig! smile
Staubfrei Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt dürfte alles klar sein. smile
Vielen Dank für die Hilfe!
Staubfrei Auf diesen Beitrag antworten »

und wo ist pi geblieben?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Fragst du mich? Wer hat das ausgelassen? Das gehört natürlich dazu, eh klar .. Big Laugh
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