Beispiele angeben für ...

03.03.2013, 15:33

MatheNoobii

Beispiele angeben für ...

Habe hier ein paar Aufgaben bei denen ich etwas Hilfe brauche:

Geben sie Beispiele an für

a) eine nicht-kommutative Gruppe mit endlich vielen Elementen;

b) ein linerares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, dessen Lösungsmenge eine Ebene im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist;

c) eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) \neq x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ , wobei V eine Vektorraum sei;

d) Matrizen $\begin{eqnarray*} A \neq E,0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} B \neq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A^2 = A , B^2= 0 \end{eqnarray*}$

e) einen unendlich-dimensionalen Vektorraum

Begründen Sie Ihre jeweile Antworten kurz.

Meine Ideen:

d)

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Würden diese beiden Ergebnisse passen, oder hab ich etwas nicht beachtet?

Bei den anderen Aufgaben fehlt mir das logische Denken, ich weiiß nicht wie ich vorgehen soll:

Erst zu
a) nicht-kommutative Gruppe mit endlich vielen Elementen.

- Endlich viele Elementen: Kann ich mit dieser Angabe alle nicht-endlichen Gruppen ausschließen? Aber welche sind das? und welche bleiben übrig?
- nicht kommutative Gruppe: also eine Gruppe, die die Axiome erfüllt, jedoch nicht gilt: $\begin{eqnarray*} a \circ b = b \circ a \end{eqnarray*}$ Aber wie komme ich auf sowas?

Vielen Dank für Eure Hilfe!

03.03.2013, 16:54

Leopold

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Deine Lösung für d) erscheint mir richtig.
a) wird sehr einfach, wenn man gewisse Sorten von Gruppen kennt. Sagen dir die Begriffe "symmetrische Gruppe", "Diedergruppe", "Quaternionengruppe" etwas? Oder kennst du andere Gruppentypen?
Wenn du so etwas nicht kennst, dürfte a) etwas schwieriger zu bearbeiten sein.

03.03.2013, 17:03

MatheNoobii

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Mir siagen nur die symmetrischen Gruppen etwas, "Diedergruppe" und "Quaternionengruppe" hab ich noch nicht gehört :/

03.03.2013, 17:05

Leopold

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Dann sage ich nur: $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$

03.03.2013, 17:11

MatheNoobii

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Ah Symmetrische Gruppen sind assoziativ, haben ein neutrales element und natürlich ein Inverses aber sie sind für $\begin{eqnarray*} n > 2 \end{eqnarray*}$ nicht kommutativ!

Danke smile

Und zur b):

Ich muss quasi 3 lineare Gleichungen mit 3 Unbekannten, dessen Lösungsmenge eine Ebene im R^3 ist finden. Also wären die 3 Gleichungen linear unabhängig, so wäre die Lösungsmenge der gesamte R^3, da dann a=b=c=0 richtig? Wenn alle drei linear abhängig wären, wäre die Lösungsmenge nur eine Gerade, und wenn 2 Gleichungen linear abhängig, die 3. gleichung, jedoch linear unabhängig ist, ist die Lösungsmenge eine Ebene?

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=0 x_1+x_2+x_3=0 x_1+x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$

Aber wie finde ich diese nun heraus?

03.03.2013, 17:44

Che Netzer

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RE: Beispiele angeben für ...
Kurzer Vereinfachungsvorschlag:

Zitat:

Original von MatheNoobii
d)

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{align*} A&=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}&B&=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\,. \end{align*}$

03.03.2013, 17:58

tmp31415926

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Die (c) verstehe ich übrigens nicht, ist vielleicht eine Seitenbedingung nicht mit hingeschrieben? Für z.B. den Nullraum ist das ganz offensichtlich nicht machbar.

03.03.2013, 18:00

Che Netzer

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Schon, aber dann sucht man sich halt einen andere Vektorraum.
Den kann/soll man da wohl auch nach Belieben wählen.

04.03.2013, 15:53

MatheNoobii

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Zitat:

$\begin{align*} A&=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}&B&=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\,. \end{align*}$

Passt natürlich auch! Big Laugh

Zitat:

Die (c) verstehe ich übrigens nicht, ist vielleicht eine Seitenbedingung nicht mit hingeschrieben? Für z.B. den Nullraum ist das ganz offensichtlich nicht machbar.

Das ist alles was angegeben ist!

Könnt ihr mir auch nochmal bei Teilaufgabe b) helfen?

Zitat:

Ah Symmetrische Gruppen sind assoziativ, haben ein neutrales element und natürlich ein Inverses aber sie sind für $\begin{eqnarray*} n > 2 \end{eqnarray*}$ nicht kommutativ! Danke smile Und zur b): Ich muss quasi 3 lineare Gleichungen mit 3 Unbekannten, dessen Lösungsmenge eine Ebene im R^3 ist finden. Also wären die 3 Gleichungen linear unabhängig, so wäre die Lösungsmenge der gesamte R^3, da dann a=b=c=0 richtig? Wenn alle drei linear abhängig wären, wäre die Lösungsmenge nur eine Gerade, und wenn 2 Gleichungen linear abhängig, die 3. gleichung, jedoch linear unabhängig ist, ist die Lösungsmenge eine Ebene? $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=0 x_1+x_2+x_3=0 x_1+x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$ Aber wie finde ich diese nun heraus?

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