(stetige) Funktionen - Vektorraum?

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03.03.2013, 17:38	lablu	Auf diesen Beitrag antworten »
(stetige) Funktionen - Vektorraum? Hallo! Da ich mittlerweile schon seit einigen Tagen an der Aufgabe hänge, habe ich mich entschlossen hier mal nachzufragen. Folgende Aufgabe: a)Zu zeigen ist dass die Menge C([-1,1]) der auf [-1,1] stetigen Funktionen ein Vektorraum ist. b) Zeige, dass 1,x,x^2,...,x^n in C([-1,1]) linear unabhänging sind und c) dass die Menge Cn([-1,1]) der auf [-1,1] stetigen Funktionen, welche zusätzlich f(0)=n erfüllen genau dann ein Vektorraum ist, wenn n=0 ein Vektorraum ist. zu a) habe ich mir überlegt, dass eine stetige funktion abgeschlossen ist, und da es abgeschlossen ist, ist es im Vektorraum enthalten oder? bei b) muss ich c01+c1x+c2x^2+...cnx^n = 0, n-fach differenzieren. Leider habe ich keine Ahnung wie ich das anstellen soll. Einfach Produkt und Summenregel anwenden? Dazu bräuchte ich doch eine allgemeine formel oder? Ich weiss leider nur wie das bei Vektoren funktioniert aber bei Funktionen bin ich aufgeschmissen :/ c) Hier hätte ich wieder gesagt dass die Funktion abgeschlossen ist und daher ein Vektorraum ist, nur wie beweise ich dass n=0 ein Vektorraum ist?
03.03.2013, 18:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) nein b) nein c) nein Weißt du überhaupt, was ein Vektorraum ist ? Wenn nicht, dann schau dir die Vektorraumaxiome an, die erfüllt sein müssen, damit (V,K,+,*s) ein Vektorraum ist.
03.03.2013, 18:24	lablu	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei den Aufgaben die ich bekomme, muss ich nur die Teilmengen von Vektorräumen betrachten. Also: 1) das V nichtleer ist 2) dass u und v $\begin{eqnarray} \in M \end{eqnarray}$ auch u+v $\begin{eqnarray} \in M \end{eqnarray}$ 3) mit u $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \lambda u \in M \end{eqnarray}$ Bei Vektoren weiss ich, wie ich diese anwenden muss. Aber bei einer stetigen Funktion fällt mir kein anderer ansatz ein.
03.03.2013, 19:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) f(x)=1 ist eine stetige Funktion, also C([-1,1]) nichtleer. f(x),g(x) stetig, dann f(x)+g(x) stetig f(x) stetig dann cf(x) stetig. ... das war ja wohl nicht zu schwer, oder ?
03.03.2013, 20:44	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wären die Bedingungen an einen Unterraum...
03.03.2013, 20:50	lablu	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist alles? :O Ich dachte ich müsste hier einen richtigen beweis herzaubern. Ich danke dir somit würde ich das bei c) so machen: )die nichtleere menge ist doch genau die selbe wie a) zu beweisen. also f(x)=1 ist eine stetige Funktion, also ist C([-1,1]) nicht leer. )Addition: f(x),g(x) $\begin{eqnarray} \in V \end{eqnarray}$ => f(x)+g(x) $\begin{eqnarray} \in V \end{eqnarray}$ d.h ich muss prüfen ob f+g mit f+g(0) = 0?! (weil ja f(0)=n ein vektorraum ist, wenn n=0 ein vektorraum ist) Also ist mit f(0)+g(0)=0 die Addition gezeigt. )Multiplikation: $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und zu überprüfen ist ob $\begin{eqnarray} \lambda f \end{eqnarray}$ eine stetige Fkt ist mit $\begin{eqnarray} \lambda f(0)=0 \end{eqnarray*}$ . Somit habe ich die drei Kriterien gezeigt und daher ist es ein Vektorraum. ?! Nochmals, vielen vielen dank! Es gibt themenbereiche für die ist mein gehirn nicht geschaffen :p (keine angst, ich studiere nicht mathematik )
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03.03.2013, 21:13	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, so klappt das nicht. Bei der a) musst du die Vektorraumaxiome überprüfen. Es sei denn, ihr kennt irgendeinen Vektorraum, von dem $\begin{eqnarray} C([-1,1]) \end{eqnarray}$ ein Unterraum sein könnte.
03.03.2013, 21:28	lablu	Auf diesen Beitrag antworten »
Die drei kriterien reichen hier völlig aus, die vektorraumaxiome werden vorrausgesetzt. Wir müssen nur die Teilmenge betrachten. (so wurde es mir zumind. gesagt) und im skript habe ich stehen "Eine teilmenge M eines Vektorraumes ist selbst ein Vektorraum genau dann wenn: nichtleer, addition, *."
03.03.2013, 21:30	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Und $\begin{eqnarray} C([-1,1]) \end{eqnarray}$ ist Teilmenge welchen Vektorraums?
04.03.2013, 14:27	lablu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab hier nur stehen "Möchte man nur überprüfen ob die Teilmenge eines Vektorraumes selbst wieder ein Vektorraum ist, so weiß man dass die Grundeigenschaften (vektoraxiome) erfüllt sind. Dh. man überprüft nur die 3 Punkte (nichtleer,addition, multiplikation). Und zeigt damit , dass M ein sogenennanter Untervektorraum ist. zu b) Ich hab das jetzt so gelöst, dass ich hier die Summe Cnx^n genommen habe und diese differenziert habe. Und zwar cnx^n = c0 x^0 + c1x^1+c2x^2+c3x^3 die erste ableitung: 01+c00+0x+c11+0x^2+2xc2+0x^3+c33x^2 die zweite ableitung: 2c2+2x0+6xc3+3x^20 dritte ableitung: 0c2+20+6c3+6x0 vierte ableitung: 0*c3 = 0. Somit ist gezeigt es linear unabhängig ist. Kann das so stimmen?
05.03.2013, 19:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) Che Netzer hat recht, man muss den Vektorraum angeben, in dem C([-1,1]) eine Teilmenge ist. Wenn dann die UVR-Kriterien gelten, ist die Teilmenge ein Vektorraum. Der Vektorraum ist so einfach zu finden, dass du ihn nach höchstens 3 Sekunden nachdenken hinschreiben kannst. Schreibe doch einfach mal auf, wo eine stetige Funktion f aus C([-1,1]) ihr Urbild und ihr Bild hat. zu b) Mit Ableitung haben wir hier nichts zu tun. Linear unabhängig heißt in diesem Fall $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^n a_i x^i=0 \Rightarrow \forall i=0,...,n : a_i=0 \end{eqnarray}$ TIPP: links steht ein Polynom n-ten Grades (wieviele Nullstellen hat das ?) , rechts steht die Nullfunktion (wieviele Nullstellen hat diese ?).

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