Stetigkeit offener Mengen

03.03.2013, 19:04

klausi1732

Stetigkeit offener Mengen

Meine Frage:
Hallo,

ich muss folgende Aufgabe lösen:

Stetigkeit und Urbild offener Mengen: Es sei
$\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
eine Funktion. Zeigen
Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) f ist stetig
Hallo,

ich muss folgende Aufgabe lösen:

Stetigkeit und Urbild offener Mengen: Es sei
$\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
eine Funktion. Zeigen
Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) f ist stetig
(b) $\begin{eqnarray*} \forall O \subset \mathbb R \quad offen : \quad f^{-1} (O) \quad offen \end{eqnarray*}$
(c) $\begin{eqnarray*} \forall a,b \in \mathbb R \quad mit \quad a<b:f^{-1} ((a,b)) \quad offen \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Den Teil (b) hab ich schon.
Kann ich den Beweis b<-->c durch Widerspruch führen?
Ich sage, wäre a gleich b dann hätte das eine einelementige Menge zur folge, also ein geschlossenes Intervall.
Bei a<-->c würde ich argumentieren dass das aus b folgt..

04.03.2013, 13:26

Grüner

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RE: Stetigkeit offener Mengen
Ich würde einen Ringschluss machen. Du hast schon
$\begin{eqnarray*} a)\Rightarrow b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b) \Rightarrow c) \end{eqnarray*}$ ist ja trivial, da offene Intervalle insbesondere offene Mengen sind.

Jetzt bräuchtest du nur noch $\begin{eqnarray*} c) \Rightarrow a) \end{eqnarray*}$ zu zeigen und dazu kann man ja ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebungen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ einfach nur Intervalle sind, also $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon} (x)=(x-\varepsilon, x+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ .

Das musst du jetzt nur noch in die Stetigkeitsdefinition von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einbauen.

04.03.2013, 14:30

RavenOnJ

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b) ist ja die topologische Stetigkeitsdefinition (Urbilder offener Mengen sind offen). Von daher sind a) und b) per definitionem äquivalent und man muss meiner Ansicht nach da gar nichts beweisen (aber vielleicht soll man ja die Äquvalenz von Stetigkeit nach dem $\begin{eqnarray*} \epsilon,\delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium mit der topologischen Stetigkeit für die Standardtopologie zeigen).

Ich würde die Äquivalenz von b) und c) [bzw. c) $\begin{align*} \Rightarrow \end{align*}$ b), da die andere Richtung schon klar ist] beweisen und zwar über die Axiome der Topologie. Man kann dabei benutzen, dass die offenen Intervalle eine Basis für die Standardtopologie bilden.

04.03.2013, 20:11

Che Netzer

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Zitat:

Original von RavenOnJ
b) ist ja die topologische Stetigkeitsdefinition (Urbilder offener Mengen sind offen). Von daher sind a) und b) per definitionem äquivalent und man muss meiner Ansicht nach da gar nichts beweisen.

Da gibt es durchaus etwas zu beweisen.
Vermutlich wurde Stetigkeit in der entsprechenden Vorlesung über Epsilons und Deltas definiert, vielleicht auch über Folgen.
Dass das der topologischen Definition entspricht, ist natürlich nicht direkt klar.

04.03.2013, 20:26

RavenOnJ

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Vielleicht hast du ja auch das in Klammern gelesen, wo ich genau deine Vermutung geschrieben hatte.

04.03.2013, 20:30

Che Netzer

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Das "aber vielleicht" klang da allerdings noch nicht allzu sicher.

04.03.2013, 20:33

RavenOnJ

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Woher soll man das auch wissen? Also "vielleicht". Auch du hast nur vermutet. Lassen wir es dabei bewenden, solange der Fragesteller sich nicht äußert.

04.03.2013, 23:31

klausi1732

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ich hab jetzt ein bisschen rumprobiert um von b nach c zu kommen.
Kann ich argumentieren dass die Aussagen äquivalent sind weil aus
$\begin{eqnarray*} \forall x \in (a,b): \exists \epsilon >0 \quad : U(x,\epsilon) \in (a,b) \end{eqnarray*}$
folgt das offene Intervalle gleich offenen Mengen sind?

Stetigkeit haben wir über epsilon delta definiert...

05.03.2013, 01:35

RavenOnJ

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Erst mal zeigst du damit noch nicht die Äquivalenz, sondern höchstens, dass die Intervalle $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ offen sind und damit b) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ c). Dann heißt es $\begin{eqnarray*} U(x,\epsilon){\color{red}\subset} (a,b) \end{eqnarray*}$ . Des Weiteren hast du die Offenheit noch nicht gezeigt, sondern nur behauptet. Das wäre also noch zu zeigen. Damit könntest du b) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ c) folgern. Was dann noch fehlt, ist die Rückrichtung oder die Implikation c) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ a).

05.03.2013, 19:15

klausi1732

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so, jetzt hab ichs mal kopmplett durchgearbeitet, wäre nett wenn jemand drüberschaut...

1->2:

Sei $\begin{eqnarray*} y \in O \end{eqnarray*}$ weiters sein f(x)=y. Weil O offen ist existiert ein epsilon>0 so daß für alle y aus O gilt: $\begin{eqnarray*} B_\epsilon(x) \in O \end{eqnarray*}$ .
Dazu existiert ein lamda >0 mit $\begin{eqnarray*} f(B_\delta (x)) \subset B_\epsilon(y) \end{eqnarray*}$
Also ist für alle x aus O : $\begin{eqnarray*} B_\delta(x) \subset f^{-1}(B_e (y)) \subset f^{-1}(O) \end{eqnarray*}$

2->3

Aus 2 folgt 3 weil das offene Intervall eine offene Menge ist wegen:
{ $\begin{eqnarray*} \forall x \in (a,b): \quad \exists \epsilon >0: \quad B_\epsilon (x) \in (a,b) \end{eqnarray*}$ }
Weiters ist die Menge $\begin{eqnarray*} \forall a,b \in \mathbb R: a<b \end{eqnarray*}$ offen denn wäre a=b wäre die Menge einelemntig also auch geschlossen.

3 -> 1

Sei O:= { $\begin{eqnarray*} \forall x \in (a,b): \quad \exists \epsilon >0: \quad B_\epsilon (x) \in (a,b) \end{eqnarray*}$ }
weiters x Element von O und epsilon >0.
da $\begin{eqnarray*} B_\epsilon \end{eqnarray*}$ offen ist existiert ein delta>0 sodass:
$\begin{eqnarray*} B_\delta (x) \subset f^{-1} (B_\epsilon(f(x))) \end{eqnarray*}$
daher gilt $\begin{eqnarray*} \forall y\in O: |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon \end{eqnarray*}$
was gerade der Definition von stetigkeit entspricht.

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