Beweis zur Teilbarkeit

03.03.2013, 19:16

missPiggy

Beweis zur Teilbarkeit

Meine Frage:
Wenn eine Zahl n nicht durch 3 teilbar ist, so ist n^3 auch nicht durch 3 Teilbar

Meine Ideen:
m = 3*b + c
b ist eine natürliche zahl und c 1,2,4,5,6,7 oder 8

m² = (3*b+c)²

weiter komme ich leider nicht es wäre sehr nett, wenn mir jemand unter die arme greifen könnte
dankeschön

03.03.2013, 20:20

lgrizu

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RE: Beweis zur teilbarkeit
Du weißt doch auch, welche Zahlen c überhaupt sein kann, also welche beiden Formen m haben kann.

Dann kann man ganz einfach binomische Formel vom Grad 3 darauf los lassen und beid eFälle überprüfen.

03.03.2013, 20:26

missPiggy

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Hi,
mir ist gerade aufgefallen ich hab mich leider vertippt

Wenn eine Zahl n nicht durch 3 teilbar ist, so ist n^2 auch nicht durch 3 Teilbar

das hab ich mir auch gedacht bin dann aber i.wie nicht weitergekommen ich machs einfach mal für c=1 und c= 2

c = 1 : m² = 9b² + 2*b + 1

c= 2 : m² = 9b² + 4b + 4

oder versteh ich dich falsch ?

danke dir

04.03.2013, 08:34

lgrizu

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genau, wenn eine Zahl m nicht durch 3 teilbar ist, dann hinbterlässt sie bei Division durch 3 entweder den Rest 1 oder den Rest 2, man kann sie also schreiben als

$\begin{eqnarray*} m=3b+1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} m=3b+2 \end{eqnarray*}$

Nun hast du allerdings nicht richtig quadriert:

Zitat:

c = 1 : m² = 9b² + 2b + 1

c= 2 : m² = 9b² + 4b + 4

Die rot markierten Koeffizienten sind falsch....

04.03.2013, 10:32

missPiggy

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okay
dann hab ich einmal (3b+1)² = 9b²+6b+1
und noch (3*b+2)² = 9b² + 12b + 4

Zu 1:
könnte ich jetzt so argumentieren, dass 9b² auf alle fälle durch 3 teilbar ist 6b ebenso aber die 1 hinten nicht und deshalb die zahl insgesamt nicht durch 3 teilbar ist analog dazu das selbe zu 2 ?

wäre es dann bewiesen ?

vielen dank für deine hilfe

04.03.2013, 11:53

lgrizu

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Jap, so ist es...

$\begin{eqnarray*} m_1^2=(3b+1)^2=\underbrace{9b^2+6b}_{\text{ist durch 3 teilbar}}+1 \Rightarrow m_1^2 \text{ hinterlässt bei Division durch 3 den Rest 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_2^2=(3b+2)^2=\underbrace{9b^2+12b+3}_{\text{ist durch 3 teilbar}}+1 \Rightarrow m_2^2 \text{ hinterlässt bei Division durch 3 den Rest 1} \end{eqnarray*}$

04.03.2013, 12:11

Mystic

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Zitat:

Original von lgrizu
Jap, so ist es...

$\begin{eqnarray*} m_1^2=(3b+1)^2=\underbrace{9b^2+6b}_{\text{ist durch 3 teilbar}}+1 \Rightarrow m_1^2 \text{ hinterlässt bei Division durch 3 den Rest 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_2^2=(3b+2)^2=\underbrace{9b^2+12b+3}_{\text{ist durch 3 teilbar}}+1 \Rightarrow m_2^2 \text{ hinterlässt bei Division durch 3 den Rest 1} \end{eqnarray*}$

Oder "in einem Aufwasch":

$\begin{eqnarray*} (3b\pm1)^2=\underbrace{9b^2\pm6b}_{\text{ist durch 3 teilbar}}+1 \Rightarrow (3b\pm1)^2 \text{ hinterlässt bei Division durch 3 den Rest 1} \end{eqnarray*}$

04.03.2013, 13:14

missPiggy

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Vielen dank das hat mir sher geholfen

04.03.2013, 19:39

missPiggy

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Jetzt hab ich hier noch eine Aufgabe wo ich mir unsicher bin

Beweisen Sie, dass wenn 3a² = b² gilt, a und b entweder beide gerade oder beide ungerade sind

Bis jetzt hab ich folgendes gemacht:

3*(2m+1)² = (2n+1)²
3*(4m²+2n+1) = 4n²+2n+1
12m²+6n+3 = 4n² 2n+1

beide Seiten sind ungerade

3(2m)² = (2n)²
12n² = 4m²

beide Seiten sind gerade

aber i.wie glaub ich nicht dass das richtig ist Big Laugh

wäre über tipps nochmal dankbar

04.03.2013, 21:32

lgrizu

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Ehrlich gesagt verstehe ich den Sinn der Aufgabe nicht.

$\begin{eqnarray*} \text{a ist gerade} \Rightarrow a^2 \text{ ist gerade} \Rightarrow 3a^2 \text{ ist gerade} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{a ist ungerade} \Rightarrow a^2 \text{ ist ungerade} \Rightarrow 3a^2 \text{ ist ungerade} \end{eqnarray*}$

Du hast jedoch von vornherein angenommen, dass beide garde bzw. ungerade sind....

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