Inverse einer orthogonalen Matrix: Transponierte

03.03.2013, 19:49

Naryxus

Inverse einer orthogonalen Matrix: Transponierte

Hallo,

ich bin gerade an einer Aufgabe, in der ich verschiedene Äquivalenzen zeigen soll. Ich mache das gerade in einem Ringschluss und jetzt bin ich an folgender Stelle angelangt:

Eine Matrix A ist orthogonal $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ A ist invertierbar und es gilt $\begin{eqnarray*} A^{-1} = A^T \end{eqnarray*}$

Die Invertierbarkeit ist kein Problem. Dass $\begin{eqnarray*} A^T \cdot A = I \end{eqnarray*}$ ist (I ist die Einheitsmatrix) ist auch kein Problem. Aber wie zeige ich, dass $\begin{eqnarray*} A \cdot A^T = I \end{eqnarray*}$ ist. Die Aussage, dass die Zeilen von A eine Orthonormalbasis bilden, kommt erst danach.

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Liebe Grüße

03.03.2013, 21:48

Helferlein

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RE: Inverse einer orthoganalen Matrix: Transponierte

Zitat:

Original von Naryxus
Die Invertierbarkeit ist kein Problem. Dass $\begin{eqnarray*} A^T \cdot A = I \end{eqnarray*}$ ist (I ist die Einheitsmatrix) ist auch kein Problem.

Überleg doch mal, wie man von I auf $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ kommen könnte.

03.03.2013, 22:11

Naryxus

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Vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} A^T \cdot A = I \Leftrightarrow A^T \cdot A \cdot A^{-1} = I \cdot A^{-1} \Leftrightarrow A^T \cdot I = A^{-1} \Leftrightarrow A^T = A^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

03.03.2013, 22:16

Helferlein

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Ich würde es eher als Gleichung schreiben, aber so geht es auch.

$\begin{eqnarray*} A^{-1} = IA^{-1} = (A^TA)A^{-1}=A^T(AA^{-1})=A^T \end{eqnarray*}$

04.03.2013, 02:47

Naryxus

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Danke schön! smile

04.03.2013, 03:10

Naryxus

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Okay. Ich hänge schon wieder unglücklich

Jetzt soll ich aus obigem, also
A ist invertierbar und es gilt $\begin{eqnarray*} A^{-1} = A^T \end{eqnarray*}$
folgern, dass die Zeilen von A eine Orthonormalbasis bzgl. des Standartskalarprodukts bilden.

Ich habe so gar keine Ahnung.

Ich habe versucht aus $\begin{eqnarray*} A \cdot A^T = I \end{eqnarray*}$ etwas zu folgern. Weiß aber nicht genau, ob ich daraus schließen kann, dass wenn ich die i-te Zeile von A mit der j-ten Spalte von $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ multipliziere, also das Skalarprodukt des i-ten Vektors und des j-ten Vektors aus der vermeintlichen Basis bilde und das 1 bei i = j und 0 bei $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ ergibt, dass das dann eine Orthonormalbasis bildet.

Wäre cool, wenn mir da noch jemand helfen könnte!

Grüße

04.03.2013, 09:09

ollie3

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hallo,
du hast die frage ja fast schon selbst beantwortet: "...wenn ich die i-te zeile
von A mit der j-ten spalte von A^T multipliziere...". Bei der transponierten
matrix sind ja nur die zeilen mit den spalten von A vertauscht, d.h die j-te
spalte von A^T ist die j-te zeile von A, und wenn man dann das skalarprodukt
bildet, kann da ja jeweils nur 1 oder 0 rauskommen, je nachdem i =j oder i ungleich j, und genau das gilt ja für die ergebnismatrix I.
gruss ollie3

04.03.2013, 13:19

Naryxus

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Und daraus kann ich schließen, dass diese Vektoren linear unabhängig sind und den ganzen Vektorraum erzeugen? Dass sie paarweise orthogonal sind und die Länge 1 haben versteh ich ja.

Gruß

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