Komplexe Zahlen |
| 03.03.2013, 21:15 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Komplexe Zahlen Hallo ich habe schwierigkeiten bei dieser Aufgabe : Berechnen sie und geben Sie das Ergebnis in der Form a + ib mit reellen Komponenten a und b an. Wie gehe ich hier vor? Meine Ideen: keine |
||||||
| 03.03.2013, 21:55 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beim Wurzel ziehen eignet sich am besten die Polarform. Schreib dir in der form |
||||||
| 04.03.2013, 10:48 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie mache ich das genau? |
||||||
| 04.03.2013, 11:40 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da schultz gerade nicht da ist: Du brauchst Betrag und Winkel von 1/i. Kennst Du die? Viele Grüße Steffen |
||||||
| 04.03.2013, 12:52 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der betragbwäre doch : r = Stimmt das ? |
||||||
| 04.03.2013, 12:55 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das ist der Betrag von 1+i, EDIT: Noch nicht mal das - es ist überhaupt kein Betrag, wie inzwischen schon angemerkt wurde. Es geht aber um 1/i. Wenn Du die Beträge von 1 und von i kennst, solltest Du auch den Betrag des Quotienten dieser beiden Zahlen kennen. |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 04.03.2013, 12:58 | Gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh man wie mache ich das genau ? Kannst du mir einen kleinen Tipp geben? |
||||||
| 04.03.2013, 13:02 | captain obvious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier sind so viele Sachen falsch, dass ich meinen Senf auch noch dazugeben möchte: 1. i hat im Betrag nichts zu suchen (unter der Wurzel). 2. Der Betrag einer komplexen Zahl ist reell. 3. 4.Was i² ist sollte bekannt sein |
||||||
| 04.03.2013, 13:02 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Komplexe Zahlen werden dividiert, indem man o die Beträge dividiert o die Winkel subtrahiert. Was ist also Betrag und Winkel von 1/i? |
||||||
| 04.03.2013, 13:03 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist nett von Dir, aber ich glaube, ich komme alleine klar. |
||||||
| 04.03.2013, 13:06 | Gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja ich glaube Steffen kriegt das schon hin. Steffen meinst du das der Betrag 0 ist oder wie ? |
||||||
| 04.03.2013, 13:07 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Was ist der Betrag von 1? Was ist der Betrag von i? |
||||||
| 04.03.2013, 13:09 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Betrag von 1 = 1 und Betrag von i = i Oder? |
||||||
| 04.03.2013, 13:12 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Leider nicht ganz. Es hilft oft (und gerade bei dieser Aufgabe), sich eine komplexe Zahl als Zeiger, also wirklich als Uhrzeiger, vorzustellen. Der hat eine bestimmte Länge und einen bestimmten Winkel. Die Länge ist nichts anderes als der Betrag der komplexen Zahl. Wie die Zahl i in der komplexen Ebene gezeichnet wird, wirst Du wissen: nach "oben". Und wie lang ist sie? |
||||||
| 04.03.2013, 13:15 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
i ist doch der imaginärteil oder ? Aber ich versteh nicht genau wie ich den Betrag raus bekomme von einem Quotient. |
||||||
| 04.03.2013, 13:17 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Zahl i ist eine komplexe Zahl wie jede andere auch. Wenn Dir das vertrauter ist, schreib sie als 0+i. Wie ist ihr Betrag?
Ich bin nicht sicher, aber ich glaube, das hab ich irgendwo hier schon mal hingeschrieben. |
||||||
| 04.03.2013, 13:18 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kommt nur i raus? |
||||||
| 04.03.2013, 13:20 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Wie weit ist i vom Nullpunkt entfernt? Wie "lang" ist dieser Zeiger also? Nimm Dir doch mal Papier und Bleistift, mal ein Koordinatensystem, die x-Achse ist der Realteil, die y-Achse der Imaginärteil. Weißt Du, wo dort die Zahl i zu finden ist? |
||||||
| 04.03.2013, 13:44 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es müsste 1 sein oder? |
||||||
| 04.03.2013, 13:47 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Prima! Das ist der Betrag von i. Jetzt brauchen wir den Winkel. Die reelle Achse zeigt ja nach rechts, das sind mathematisch 0°. Was hat dann i (das ja als Zeiger nach oben geht) für einen Winkel? |
||||||
| 04.03.2013, 13:54 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
0 grad? |
||||||
| 04.03.2013, 13:56 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, 0° ist "nach rechts", wie gesagt. 180° ist dann "nach links". Die Winkel wachsen gegen den Uhrzeigersinn. Was ist also dann "nach oben"? |
||||||
| 04.03.2013, 14:08 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
180 grad oder? |
||||||
| 04.03.2013, 14:17 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, 180° ist "nach links". Der Zeiger steht bei 0° "nach rechts" (auf 3 Uhr sozusagen) und dreht sich dann gegen den Uhrzeigersinn und zeigt bei 180° also "nach links" (steht also auf 9 Uhr). Welchen Winkel hat er dann, wenn er auf 12 Uhr steht? |
||||||
| 04.03.2013, 14:34 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
90 grad? |
||||||
| 04.03.2013, 14:37 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Völlig richtig! So, ich schlage vor, wir ziehen jetzt erst einmal die dritte Wurzel, bevor wir den Quotienten ausrechnen. Da wir ja den Betrag (1) und Winkel (90°) von i kennen, ist das nicht sehr schwer. Die dritte Wurzel wird nämlich gezogen, indem man o die dritte Wurzel des Betrags zieht o den Winkel durch drei teilt Das ist dann die Hauptlösung. Wie heißt die hier? Viele Grüße Steffen |
||||||
| 04.03.2013, 14:52 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dritte Wurzel aus i = i Und für den Winkel ergibt das dann 30 grad oder? |
||||||
| 04.03.2013, 14:53 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, der Betrag von i ist nicht i. Lies noch mal nach, was Du selber schon richtig geschrieben hast.
Ja, das ist richtig. |
||||||
| 04.03.2013, 14:59 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh ja der Betrag ist 1 . Bin ich eigentlich jetzt fertig? Jetzt muss ich das doch irgendwie in der Form a+ ib schreiben oder? |
||||||
| 04.03.2013, 15:07 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, wir sind leider noch lang nicht fertig. Jetzt kommt ein schwieriger Abschnitt, den müssen wir aber durchkauen, denn er ist wichtig. Wir haben jetzt eine Zahl gefunden, die, wenn man sie hoch drei nimmt, die Zahl i ergibt. Die Zahl hat den Betrag 1 und den Winkel 30°. Kurze Probe: wir nehmen diese Zahl hoch drei. Das heißt: Betrag hoch drei und Winkel mal drei. Ist piepeinfach, dasselbe wie vorhin, nur umgekehrt. Natürlich kommt Betrag 1 und Winkel 90° raus, also i. Das Gemeine ist nur: es gibt noch zwei andere Zahlen, die auch i ergeben, wenn man sie hoch drei nimmt. Das liegt daran, daß nach 359° wieder 0° kommt, wenn man im Kreis geht. Jetzt nehme ich einfach mal den Winkel 150° mal 3. Ist klar: 450°. Aber das ist einmal im Kreis (360°) und dann noch 90° dazu! Es sind also ebenfalls 90°, denn daß wir vorher im Kreis gegangen sind, interessiert niemanden. Siehst Du: die Zahl mit Betrag 1 und Winkel 150° ist eben auch eine dritte Wurzel von i. Und es gibt leider noch eine dritte. Kriegst Du die alleine raus? |
||||||
| 04.03.2013, 15:28 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein irgendwie verstehe ich das nicht. Kannst du mir das ein wenig genauer erklären? |
||||||
| 04.03.2013, 15:43 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Aufgabe hat nicht nur eine Lösung, sondern drei. Denn als Teilaufgabe suchen wir die dritte Wurzel aus i. Die erste hast Du selbst berechnet: Betrag 1, Winkel 30°. Das ist die sogenannte Hauptlösung. Die zweite hab ich Dir genannt: Betrag 1, Winkel 150°. Das gibt nämlich auch die Zahl i, wenn man's hoch drei nimmt. Von der ersten zur zweiten kommt man, indem der Winkel um 120° weitergedreht wird. Von der zweiten zur dritten auch. Und danach landet man wieder bei der ersten. Warum gerade 120°? Weil's um die dritte Wurzel geht, und 360° durch drei sind 120°. Jetzt kannst Du mir die dritte Lösung verraten, oder? Betrag 1 und Winkel... |
||||||
| 04.03.2013, 15:49 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Phi 3 wäre dann : 270 grad. Der Radius wäre immer noch 1 oder? |
||||||
| 04.03.2013, 15:56 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig! 270° mal 3 sind 810°, und auch das sind, wenn man zweimal 360° abzieht die 90°.
Ja, der Betrag wird ja hoch drei genommen und muß dann 1 ergeben. Prima, das Schwierigste haben wir geschafft. Als nächstes den Bruch, denn die dritte Wurzel aus i steht ja im Nenner. Im Zähler steht eine 1. Nun gilt beim Dividieren, wie gesagt: Beträge werden dividiert, Winkel werden subtrahiert. Was für einen Winkel hat die Zahl im Zähler? Und kannst Du jetzt die drei Lösungen mit Betrag und Winkel aufschreiben? Viele Grüße Steffen |
||||||
| 04.03.2013, 15:58 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hat die Zahl im Zähler den Winkel 360 grad? |
||||||
| 04.03.2013, 16:00 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist richtig! Rein reelle positive Zahlen "zeigen nach rechts". Du kannst natürlich genausogut 0° sagen, aber dann bekommen wir beim Dividieren negative Winkel, die sind vielleicht verwirrend. Rechne also ruhig mit den 360°. Was kommt also raus? |
||||||
| 04.03.2013, 16:05 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soll ich beim ersten fall also: 360 grad/30 grad rechnen ? |
||||||
| 04.03.2013, 16:06 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, denn beim Dividieren gilt: Beträge werden dividiert, Winkel werden subtrahiert. |
||||||
| 04.03.2013, 16:10 | gast21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Fall 1 : 330 grad fall 2 330 - 150 = 180 Fall3??? Was mache ich da: 180 -270 ???? |
||||||
| 04.03.2013, 16:14 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig!
Nein, oben steht ja immer jeweils die 1 mit dem Winkel 360°. Nur unten stand vorhin 30°, jetzt steht da 150°. Also? |
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
Umgangston!