Komplementärereignis eines bedingten Ereignisses?

03.03.2013, 22:51	strafedonkey	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplementärereignis eines bedingten Ereignisses? Es geht mir um folgendes Was ist das Gegenereignis von: $\begin{eqnarray} (A\|B)<br /> \end{eqnarray}$ ist das Gegenereignis $\begin{eqnarray} (\bar{A}\|\bar{B})<br /> \end{eqnarray}$ oder ist es $\begin{eqnarray} (A\|\bar{B})<br /> \end{eqnarray}$ oder ist es $\begin{eqnarray} (\bar{A}\|B)<br /> \end{eqnarray}$ Ist das abhängig davon, was die Elementarereignisse sind? denn eigentlich ist das Gegenereignis ja jenes, welches vereint mit dem ursprünglichen Ereignis eine leere menge ergibt. Wenn ich persönlich so drüber nachdenke, dann ist bei der bedingten Wahrscheinlichkeit das erste Ereignis nicht interessant, da ja nur die Wahrschienlichkeit des Folgeereignisses eintritt. Deswegen ist auch nur die Menge der Elementarereignisse von Ereignis A von Belang, und dementsprechend müsste dann meiner Überlegung nach die Gegenwahrsciehnlichkeits von $\begin{eqnarray} P(A\|B)<br /> \end{eqnarray}$ ergo $\begin{eqnarray} P(\bar{A}\|B)<br /> \end{eqnarray}$ , und nur dieses sein, liege ich da richtig? Hier mal eine konkrete Aufgabe, an der ich mich zurziet ausbeiße für eine infektionakrankheit wurde ein neuer medizinischer Test für die Diagnostik entwickelt. Von interesse ist zu wissen, wie hoch die Sicherheit ist, dass aufgrund eines positiven Testergebnisses der Patient als infiziert eingestuft werden kann. Gegeben sind die Ereignise I=”Patient ist infizert” und T=”Testergebnis ist positiv” mit den gegebenen Wahrscheinlichkeiten: P(I)=0,001 P(T\|I)=0,99 $\begin{eqnarray} P(\bar{T}\|\bar{I})=0,98<br /> \end{eqnarray}$ a) wie groß ist die wahrschienlichkeit, dass bei Vorliegen eines positiven Testergebnisses der Patient tatsächlich infziert ist? b) Wie groß ist die wahrscheinlichkeit, dass ein infizierter patient nicht erkannt wird? ich hänge zurziet bei a), also zeige ich euch einfach mal, wie weit ich da bisher bin: zu a) Wir müssen $\begin{eqnarray} P(I\|T)<br /> \end{eqnarray}$ berechnen. diese formle führt zunächst nicht zum Erfolg, da P(T) noch nicht gegeben ist $\begin{eqnarray} P(I\|T)=\frac{P(I\cap T)}{P(T)}<br /> \end{eqnarray}$ Ich versuche mit dem Satz der totalen Wahrshcienlichkeit P(T) zu berechne $\begin{eqnarray} P(I\cap T)=P(T\|I)\cdot P(I)=0,99\cdot0,001=9,9\cdot10^{-4}=0,00099<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(T)=P(T\|I)\cdot P(I)+P(T\|\bar{I})\cdot P(\bar{I})=<br /> \end{eqnarray}$ . Geht also auch nicht, da ich $\begin{eqnarray} P(T\|\bar{I})<br /> \end{eqnarray}$ nicht kenne. Da der gewöhnliche Weg nicht zum Erfolg wird, bediene ich mich dem Theorem von Bayes: $\begin{eqnarray} P(I\|T)=\frac{P(T\|I)\cdot P(I)}{P(T\|I)\cdot P(I)+P(T\|\bar{I})\cdot P(\bar{I})}<br /> \end{eqnarray}$ so, ich brauche also noch zwei größen, um die Formel berechnen zu könne. $\begin{eqnarray} P(\bar{I})=1-P(I)=0,999<br /> \end{eqnarray}$ so, wenn jetzt meine theorie stimmt, dann wäre das Gegenereignis von $\begin{eqnarray} P(T\|\bar{I})<br /> \end{eqnarray}$ ergo $\begin{eqnarray} P(\bar{T}\|\bar{I})<br /> \end{eqnarray}$ uind somit ergibt sich $\begin{eqnarray} P(T\|\bar{I})=1-P(\bar{T}\|\bar{I})=0,02<br /> \end{eqnarray}$ eingestzt in die Formel würde das ergeben $\begin{eqnarray} P(I\|T)=\frac{0,99\cdot0,001}{0,99\cdot0,001+0,02\cdot0,999}=0,047<br /> \end{eqnarray}$ Meine Lösung kommt allerdings aus exakt 0,05 und erwähnt nichts von runden oder dergleichen. Also Frage ich euch: wo ist der Fehler? Mit der b) mache ich erst weiter, wenn ich a) verstanden habe.
06.03.2013, 17:22	Pik 7	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnung ist vollkommen richtig. P(T \| I) = 0,00099 / (0,00099 + 0,01998) = 0,0472103 Warum soll denn da GENAU 0,05 herauskommen?
06.03.2013, 17:24	Pik 7	Auf diesen Beitrag antworten »
es muss natürlich P(I \| T) = ... heißen.

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